Kaj je kvadratna funkcija?
Kvadratna funkcija je polinom druge stopnje, zapisana s predpisom:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Kjer so:
- $a$ – vodilni koeficient (mora biti različen od $0$),
- $b$ – koeficient linearnega člena,
- $c$ – konstantni člen.
Vodilni koeficient $a$ določa smer parabole:
- Če je $a > 0$, se parabola odpira navzgor.
- Če je $a < 0$, se parabola odpira navzdol.
- Večja, kot je absolutna vrednost $a$, ožja in bolj strma je parabola. Manjša, kot je, širša je.
Linearni koeficient $b$ vpliva na lego parabole glede na os $x$. Določa, kje se nahaja teme grafa v vodoravni smeri.
Konstantni člen $c$ označuje presečišče grafa s koordinatno osjo $y$. Vrednost funkcije pri $x = 0$ izračunamo tako:
$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$
Kvadratna funkcija ima vedno obliko parabole, ki je simetrična glede na os parabole. Njeno lego, ničle in ekstremno vrednost določimo s koeficienti $a$, $b$ in $c$.
Oblike kvadratne funkcije
Splošna oblika kvadratne funkcije
Kvadratno funkcijo v splošni obliki zapišemo kot:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
Koeficient $a$ določa smer in obliko parabole. Če je $a > 0$, je parabola obrnjena navzgor, če je $a < 0$, je obrnjena navzdol. Večja, kot je absolutna vrednost $|a|$, ožja in bolj strma je parabola. Koeficient $b$ vpliva na lego temena glede na $y$-os, $c$ pa določa presečišče grafa z ordinatno osjo, saj velja $f(0) = c$.
Vodilni koeficient $a = 1$: Parabola je obrnjena navzgor.
Linearni člen $b =-4$: Graf se premakne desno.
Konstantni člen $c = 3$: Presečišče z ordinatno osjo v točki $(0, 3)$.
Temenska oblika kvadratne funkcije
Temensko obliko zapišemo kot:
$f(x) = a(x-p)^2 + q$
To obliko uporabimo, ko želimo hitro določiti lego temena $T(p, q)$. Koordinati temena izračunamo po formulah:
- $p =-\frac{b}{2a}$
- $q = f(p)$
Teme predstavlja ekstremno vrednost funkcije. Če je $a > 0$, ima funkcija v temenu najmanjšo vrednost. Če je $a < 0$, ima v temenu največjo vrednost.
Lastnosti te funkcije:
- Teme parabole: $T(2,-3)$
- Vodilni koeficient $a = 1$: Parabola je obrnjena navzgor.
- Premik grafa: Premaknjen je desno za 2 enoti in navzdol za 3 enote.
Ničelna oblika kvadratne funkcije
Ničelna oblika kvadratne funkcije je zapisana kot:
$
f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)
$
V tej obliki sta $x_1$ in $x_2$ ničli funkcije. Določimo ju z reševanjem kvadratne enačbe $ax^2 + bx + c = 0$ po formuli:
$
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
$
Število ničel je odvisno od vrednosti diskriminante
$D = b^2-4ac$:
- Če je $D > 0$, ima funkcija dve različni realni ničli.
- Če je $D = 0$, ima funkcija eno dvojno realno ničlo.
- Če je $D < 0$, funkcija nima realnih ničel.
Ničelna oblika olajša risanje grafa kvadratne funkcije, saj ničli določata presečišči grafa z abscisno osjo.
Vodilni koeficient $a = 2$: Parabola je obrnjena navzgor in ožja.
Linearni člen $b =-4$: Premik grafa v desno.
Konstantni člen $c = 1$: Presečišče z ordinatno osjo v točki $(0, 1)$.
Parabola in graf kvadratne funkcije
Kvadratna funkcija ima graf v obliki parabole. Njena oblika in lega sta odvisni od koeficientov $a$, $b$ in $c$ v predpisu $f(x) = ax^2 + bx + c$.
Pomen vodilnega koeficienta $a$
Koeficient $a$ določa smer in širino parabole:
- če je $a > 0$, je parabola obrnjena navzgor (ima najmanjšo vrednost)
- če je $a < 0$, je parabola obrnjena navzdol (ima največjo vrednost)
- večja kot je absolutna vrednost $|a|$, ožja in bolj strma je parabola
- manjša kot je $|a|$, širša je parabola
Vpliv koeficientov na premik grafa
- Koeficient $b$ vpliva na lego temena parabole glede na os $y$.
- Koeficient $c$ določa presečišče grafa z ordinatno osjo pri $x = 0$, saj velja $f(0) = c$.
Risanje grafa kvadratne funkcije
Graf kvadratne funkcije lahko narišemo iz splošne ali temenske oblike.
Iz splošne oblike:
poiščemo ključne točke: presečišče z ordinatno osjo ($c$), ničle (če obstajajo) in teme.
Iz temenske oblike:
iz predpisa $f(x) = a(x-p)^2 + q$ preberemo teme $T(p, q)$ in določimo smer grafa glede na $a$.
Primer grafa kvadratne funkcije
$f(x) = x^2-4x + 3$
1. Izračunajmo teme:
$ p =-\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, \quad q = f(2) = 2^2-4 \cdot 2 + 3 =-1 $
2. Poiščimo ničli:
$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} $
$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $
To pomeni, da sta ničli $x_1 = 1$ in $x_2 = 3$.
3. Narišemo graf, pri čemer označimo teme $(2,-1)$, ničli $(1, 0)$ in $(3, 0)$ ter presečišče z ordinatno osjo $(0, 3)$.
Ničle kvadratne funkcije
Ničle kvadratne funkcije so točke, kjer graf seka abscisno os. Poiščemo jih z enačbo kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ tako, da enačimo predpis z nič:
$
ax^2 + bx + c = 0
$
Formula za izračun ničel
Ničli $x_1$ in $x_2$ izračunamo s kvadratno formulo:
$
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
$
Pri tem je $D$ diskriminanta, ki določa število ničel.
Diskriminanta kvadratne funkcije
Diskriminanto $D$ izračunamo po formuli:
$
D = b^2-4ac
$
Število in vrsta ničel sta odvisna od predznaka diskriminante:
- $D > 0$: dve različni realni ničli
- $D = 0$: ena dvojna realna ničla
- $D < 0$: brez realnih ničel
Primer: izračunajmo ničle kvadratne funkcije
$f(x) = x^2-4x + 3$
Koeficienti so: $a = 1$, $b =-4$, $c = 3$.
1. Izračunajmo diskriminanto:
$
D = (-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 3 = 16-12 = 4
$
2. Uporabimo kvadratno formulo:
$
x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}
$
3. Rešitvi sta:
$
x_1 = \frac{4-2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3
$
To pomeni, da graf funkcije seka os $x$ v točkah $(1, 0)$ in $(3, 0)$.
Ničli kvadratne funkcije sta $x_1 = 1$ in $x_2 = 3$.
Temenska oblika in teme parabole
Temenska oblika kvadratne funkcije ima predpis:
$
f(x) = a(x-p)^2 + q
$
Koordinati temena $T(p, q)$ izračunamo po formulah:
$
p =-\frac{b}{2a}, \quad q = f(p)
$
Primer: izračunajmo temenske oblike kvadratne funkcije
$f(x) = x^2-4x + 3$
1. Določimo koeficiente: $a = 1$, $b =-4$, $c = 3$.
2. Izračunajmo koordinato $p$:
$
p = -\frac{-4}{2 \times 1} = \frac{4}{2} = 2
$
3. Vstavimo $p = 2$ v predpis funkcije, da izračunamo $q$:
$
q = (2)^2-4 \times 2 + 3 = 4-8 + 3 =-1
$
Teme kvadratne funkcije $f(x) = x^2-4x + 3$ je v točki $T(2,-1)$.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je kvadratna funkcija, spoznali graf kvadratne funkcije, ničle kvadratne funkcije in diskriminanta kvadratne funkcije. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj, ki jih najdete spodaj. Vaje vam bodo še bolj približale razumevanje kaj je to kvadratna funkcija.
Kvadratna funkcija vaje z rešitvami
1. Narišite graf kvadratne funkcije in določite lastnosti funkcije:
- definicijsko območje funkcije,
- zaloga vrednosti funkcije,
- ali je funkcija injektivna (ena-na-ena) ali ne,
- ali je funkcija zvezna ali nezvezna,
- ali je soda ali liha funkcija,
- ali je funkcija periodična ali ne,
- ali je funkcija omejena (zgoraj/spodaj) ali neomejena,
- teme parabole (vrh parabole),
- koordinate presečišč z absciso (x-os) in ordinato (y-os),
- lokalni ekstremi (lokalni minimumi in maksimumi),
- intervali monotonosti (naraščajoča/padajoča funkcija).
2. Poiščite enačbo kvadratne funkcije in narišite njen graf, ki poteka skozi točke:
Vrste funkcij: vaje z rešitvami
Praksa je ključ do uspeha pri učenju matematike, zato izkoristite vsa dostopna učna gradiva. Srečno reševanje! P. s.: Dodali smo vse rešitve nalog in vaj.
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj je kvadratna funkcija, hitro poiščite “inštruktor matematike Koper” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.
