Kaj je funkcija? Definicija funkcije in zaloga vrednosti
Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu za definicijsko območje funkcije ($D_f$) priredi natanko en element iz množice zaloga vrednosti funkcije ($Z_f$). To pomeni, da vsakemu dovoljenemu vhodu pripada ena sama izhodna vrednost.
Funkcija: osnovni pojmi
- Definicijsko območje funkcije ($D_f$) – množica vseh vhodnih vrednosti, za katere je funkcija določena.
- Zaloga vrednosti funkcije ($Z_f$) – množica vseh možnih funkcijskih vrednosti.
- Neodvisna spremenljivka ($x$) – vrednost, ki jo vstavimo v funkcijo.
- Odvisna spremenljivka ($f(x)$) – vrednost, ki jo funkcija določi za dano $x$.
Kako zapisujemo funkcije?
Funkcijo označimo z zapisom:
$ f: D_f \to Z_f, \quad x \mapsto f(x) $
To pomeni, da vrednost $x$ iz množice $D_f$ funkcija preslika v vrednost $f(x)$.
Lahko jo zapišemo tudi kot enačbo:
$ y = f(x) $
kjer je $y$ vrednost funkcije za dano $x$.
Kako se prikaže funkcija?
Funkcijo lahko predstavimo na več načinov:
- S tabelo vrednosti, kjer zapišemo nekaj vhodnih in pripadajočih izhodnih vrednosti.
- S seznamom urejenih parov $(x, y)$, ki določajo povezavo med spremenljivkami.
- Z grafom, kjer v koordinatnem sistemu narišemo vse točke oblike $(x, f(x))$.
Primer: kaj je funkcija
$ f(x) = x^2-3x + 2 $
Izračunajmo nekaj vrednosti:
| $x$ | $f(x)$ |
|---|---|
| -1 | $(-1)^2-3(-1) + 2 = 6$ |
| 0 | $0^2-3(0) + 2 = 2$ |
| 1 | $1^2-3(1) + 2 = 0$ |
| 2 | $2^2-3(2) + 2 = 0$ |
| 3 | $3^2-3(3) + 2 = 2$ |
Točke $(-1,6)$, $(0,2)$, $(1,0)$, $(2,0)$ in $(3,2)$ ležijo na grafu te funkcije.
Lastnosti funkcije
- Vsakemu $x$ pripada natanko ena vrednost $f(x)$ – funkcija ne more dodeliti več rezultatov isti vhodni vrednosti.
- Definicijsko območje funkcije določa, kje je funkcija smiselna – vrednosti izven tega območja ne upoštevamo.
- Zaloga vrednosti funkcije nam pove, katere vrednosti lahko funkcija doseže – določa obseg izhodnih vrednosti.
To so osnovni pojmi, ki jih potrebujemo pri delu s funkcijami.
Graf funkcije: lastnosti in zveznost funkcije
Graf funkcije je množica vseh točk $(x, y)$, kjer velja $y = f(x)$. Njegova oblika nam pove, kako se funkcija spreminja, kje doseže skrajne vrednosti in ali ima prekinjene dele. Pri analizi grafa preučujemo zveznost funkcije, naraščanje in padanje, ekstreme ter ničle in presečišča.
Zveznost funkcije in diskontinuitete
Funkcija je zvezna, če njen graf nima prekinitev. Matematično to pomeni, da velja:
$ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) $
Če se vrednost funkcije ne ujema z limito ali limita ne obstaja, ima funkcija diskontinuiteto.
Poznamo dva osnovna tipa diskontinuitet:
- Odstranljiva diskontinuiteta: Če obstaja $\lim\limits_{x \to a} f(x)$, vendar ni enaka $f(a)$ ali pa $f(a)$ ni definirana.
- Bistvena diskontinuiteta: Če limita ne obstaja zaradi skoka ali asimptotičnega vedenja.
Pri zveznih funkcijah je graf neprekinjena krivulja, pri prekinjenih funkcijah pa vidimo skoke, luknje ali navpične asimptote.
Naraščanje, padanje in ekstremi funkcije
S spremembo vrednosti funkcije določimo, ali funkcija narašča, pada ali dosega ekstreme.
Naraščajoča funkcija
Če za vse $x_1 < x_2$ velja: $ f(x_1) < f(x_2) $
Padajoča funkcija
Če za vse $x_1 < x_2$ velja: $ f(x_1) > f(x_2) $
Graf naraščajoče funkcije se dviguje, graf padajoče funkcije pa spušča.
Ekstremi funkcije
Ekstremi so tiste točke, kjer funkcija doseže lokalni maksimum ali lokalni minimum.
Lokalni maksimum: Če obstaja interval okoli $x_m$, kjer velja:
$ f(x) \leq f(x_m) $
Lokalni minimum: Če obstaja interval okoli $x_m$, kjer velja:
$ f(x) \geq f(x_m) $
V ekstremih je graf funkcije pogosto vodoraven, kar pomeni, da ima odvod funkcije ničelno vrednost ($f'(x) = 0$), če je funkcija odvedljiva.
Ničla funkcije in presečišča grafa
Ničla funkcije
Ničle funkcije so vrednosti $x$, pri katerih velja:
$ f(x) = 0 $
To so točke, kjer graf seka os $x$. Ničle poiščemo z reševanjem enačbe $f(x) = 0$.
Presečišče grafa z osjo $y$
Točka, kjer funkcija seka os $y$, ustreza vrednosti funkcije pri $x = 0$:
$ f(0) $
Presečišče grafa je točka $ (0, f(0)) $.
Graf funkcije lahko seka os $y$ samo enkrat, saj funkcija za vsak $x$ določa natanko eno vrednost $y$.
Funkcija in osnovne operacije
S funkcijami lahko izvajamo osnovne računske operacije, podobno kot pri številih. Izračunamo lahko vsoto, razliko, produkt in kvocient dveh funkcij. Poleg tega lahko sestavimo dve funkciji v kompozitum funkcij, kjer ena funkcija deluje kot vhod v drugo.
Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje funkcij
Če sta podani funkciji $f(x)$ in $g(x)$, lahko definiramo naslednje operacije:
Seštevanje funkcij:
$ (f + g)(x) = f(x) + g(x) $
Odštevanje funkcij:
$ (f-g)(x) = f(x)-g(x) $
Množenje funkcij:
$ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) $
Deljenje funkcij (če $g(x) \neq 0$):
$ \left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} $
Vsako operacijo izvajamo točkovno, kar pomeni, da za določen $x$ izračunamo vrednost funkcije in nato uporabimo predpisano operacijo.
Primer: osnovne računske operacije funkcije
Naj bosta podani funkciji:
$ f(x) = 2x + 3, \quad g(x) = x^2-1 $
Izračunajmo vsako operacijo pri $x = 2$:
Vsota:
$ (f + g)(2) = f(2) + g(2) $
$ = (2 \cdot 2 + 3) + (2^2 – 1) $
$ = (4 + 3) + (4 – 1) = 7 + 3 = 10 $
Razlika:
$ (f-g)(2) = f(2)-g(2) = 7-3 = 4 $
Produkt:
$ (f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 7 \cdot 3 = 21 $
Kvocient (če $g(2) \neq 0$):
$ \left(\frac{f}{g}\right)(2) = \frac{f(2)}{g(2)} = \frac{7}{3} $
Kompozitum funkcij: sestavljena funkcija
Kompozitum funkcij pomeni, da vrednost ene funkcije uporabimo kot vhod v drugo funkcijo. To zapišemo kot:
$ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
Pri izračunu kompozituma najprej določimo $g(x)$ in dobljeno vrednost vstavimo v $f(x)$.
Primer izračuna kompozituma
Podani sta funkciji, izračunajmo kompozitum $ (f \circ g)(x) $:
$ f(x) = 2x + 3, \quad g(x) = x^2-1 $
1. Najprej izračunamo $g(x)$:
$ g(x) = x^2-1 $
2. Dobljeni izraz vstavimo v $f(x)$:
$ f(g(x)) = f(x^2-1) $
3. Zamenjamo $x$ v funkciji $f$ z izrazom $x^2-1$:
$ f(x^2-1) = 2(x^2-1) + 3 $
4. Poenostavimo:
$ 2x^2-2 + 3 = 2x^2 + 1 $
5. Torej velja:
$ (f \circ g)(x) = 2x^2 + 1 $
Kompozitum funkcij uporabimo, kadar želimo zložiti več funkcijskih predpisov v enega.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je funkcija, zveznost funkcije in definicijsko območje. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Vrste funkcij: vaje z rešitvami
Praksa je ključ do uspeha pri učenju matematike, zato izkoristite vsa dostopna učna gradiva. Srečno reševanje! P. s.: Dodali smo vse rešitve nalog in vaj.
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj je definicija in zveznost funkcije, hitro poiščite “inštruktor matematike Koper” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.
