Kaj je iracionalna enačba
Iracionalna enačba je enačba, v kateri se neznanka nahaja pod korenom. To pomeni, da je neznanka $x$ del izraza, ki je pod kvadratnim ali kakšnim drugim korenom. Reševanje iracionalnih enačb je nekoliko drugačno, saj potenciranje (npr. kvadriranje) ne zagotavlja vedno ekvivalentnosti, kar pomeni, da moramo na koncu rešitev obvezno preveriti.
Primer iracionalne enačbe s kvadratnim korenom
Poglejmo si iracionalna enačba primer:
$ \sqrt{2x-3} = 5 $
V tej enačbi je neznanka $x$ pod kvadratnim korenom. Da bi se znebili korena in rešili enačbo, obe strani kvadriramo:
$ (\sqrt{2x-3})^2 = 5^2 $
Po kvadriranju dobimo:
$ 2x-3 = 25 $
Sedaj imamo enačbo brez korena, ki jo rešujemo kot navadno linearno enačbo. Najprej prenesemo $-3$ na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$ 2x = 28 $
Nato obe strani delimo z 2:
$ x = 14 $
Ker kvadriranje ne ohrani vedno ekvivalentnosti enačbe, je pomembno, da preverimo, ali dobljena rešitev ustreza začetni enačbi. Vstavimo $x = 14$ nazaj v prvotno enačbo:
$ \sqrt{2(14)-3} = \sqrt{28-3} = \sqrt{25} = 5 $
Leva stran enačbe je enaka desni, kar pomeni, da je rešitev $x = 14$ pravilna.
Praktični nasveti za reševanje iracionalne enačbe
Ko boste reševali iracionalne enačbe morate poznati nekaj osnovnih pravil:
🟠 Osamimo koren: Če je možno, poskrbimo, da bo koren na eni strani enačbe sam. Na primer:
$ \sqrt{x + 2} = 4 $
V tem primeru je koren že sam, zato lahko kvadriramo obe strani enačbe.
🟠 Kvadriramo: Ko je koren osamljen, kvadriramo obe strani enačbe in se znebimo korena. Tako neznanka ostane brez korena, kot smo prikazali v prejšnjem primeru.
🟠 Preverimo rešitev: Ker kvadriranje ne zagotavlja vedno pravilne rešitve, moramo preveriti, ali dobljena rešitev ustreza začetni enačbi.
S temi postopki lahko preprosto rešiš osnovne iracionalne enačbe in preveriš, ali so rešitve pravilne.
Reševanje iracionalne enačbe
Pri reševanju iracionalne enačbe, kjer je neznanka pod korenom, sledimo določenim korakom. Spodaj smo opisali postopke in primere, ki vam bodo v pomoč pri reševanju takšnih enačb.
1. Potenciranje iracionalne enačbe
Korena pri iracionalnih enačbah se znebimo tako, da potenciramo. To pomeni, da kvadriramo (ali uporabimo ustrezno stopnjo potence) obe strani enačbe. Tako se znebimo korena in dobimo enačbo, ki jo rešujemo veliko lažje.
Potenciranje primer:
$ \sqrt{3x + 1} = 4 $
Kvadriramo obe strani enačbe in se znebimo korena:
$ (\sqrt{3x + 1})^2 = 4^2 $
Dobimo:
$ 3x + 1 = 16 $
Enačbo nato rešimo običajno. Najprej odštejemo 1:
$ 3x = 15 $
Delimo s 3:
$ x = 5 $
Opozorilo: Kvadriranje lahko privede do napačnih rešitev, zato moramo preveriti, ali dobljena rešitev drži tudi v začetni enačbi. Rešitev vedno preverimo tako, da jo vstavimo nazaj v prvotno enačbo.
2. Osamitev korena
Pred potenciranjem je pomembno, da izraz s korenom osamimo. To pomeni, da koren prestavimo na eno stran enačbe, ostale izraze pa na drugo stran.
Osamitev korena primer:
$ \sqrt{2x-4} + 3 = 7 $
Število $3$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak (odštejemo $3$):
$ \sqrt{2x-4} = 4 $
Zdaj kvadriramo obe strani:
$ (\sqrt{2x-4})^2 = 4^2 $
Dobimo:
$ 2x-4 = 16 $
$4$ prestavimo na desno stran in spremenimo predznak (prištejemo $4$):
$ 2x = 20 $
Delimo z 2:
$ x = 10 $
Preverimo, ali rešitev ustreza. Vstavimo $ x = 10 $ nazaj v prvotno enačbo:
$ \sqrt{2(10)-4} + 3 = \sqrt{20-4} + 3 = \sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7 $
Rešitev je pravilna.
3. Določilni pogoji za iracionalno enačbo
Določiti moramo pogoje (določilni pogoji) za veljavnost rešitve iracionalne enačbe. Korenjenec (izraza pod korenom) mora biti nenegativen $x \geq 0$, saj kvadratni koren negativnega števila nima realne rešitve.
Določilni pogoji primer:
$ \sqrt{x-2} = 3 $
Najprej določimo pogoj:
$ x-2 \geq 0 $
$ x \geq 2 $
To pomeni, da mora biti vrednost neznanke $ x $ vsaj 2 ali več. Sedaj kvadriramo enačbo:
$ (\sqrt{x-2})^2 = 3^2 $
$ x-2 = 9 $
$ x = 11 $
Preverimo, ali rešitev ustreza pogoju. Rešitev $ x = 11 $ je večje od 2, zato je rešitev pravilna. Če bi dobili rešitev, ki ne ustreza pogoju, potem enačba nima rešitve.
Vrste iracionalne enačbe
Iracionalne enačbe lahko razdelimo glede na to, kako so koreni razporejeni in koliko jih je v enačbi. Vsaka vrsta zahteva poseben postopek reševanja.
1. Iracionalna enačba z enim korenom na eni strani enačbe
V tej iracionalni enačbi je koren na eni strani že osamljen, zato je postopek reševanja enostaven — korena se znebimo tako, da kvadriramo obe strani enačbe.
$ \sqrt{2x-5} = 3 $
Obe strani kvadriramo:
$ 2x-5 = 9 $
$-5$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$ 2x = 14 $
Delimo z 2:
$ x = 7 $
Preverimo rešitev, tako da vstavimo $ x = 7 $ nazaj v enačbo:
$ \sqrt{2(7)-5} = \sqrt{14-5} = \sqrt{9} = 3 $
Leva stran se ujema z desno, kar pomeni, da je rešitev pravilna.
2. Iracionalna enačba z enim korenom, ki ni osamljen
Če koren ni sam, ga moramo najprej osamiti in šele potem lahko kvadriramo.
$ \sqrt{x + 3} + 2 = 5 $
$2$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$ \sqrt{x + 3} = 3 $
Kvadriramo obe strani:
$ x + 3 = 9 $
$3$ prestavimo na desno stran enačbe in spremenimo predznak:
$ x = 6 $
Preverimo rešitev, tako da vstavimo $ x = 6 $ nazaj v začetno enačbo:
$ \sqrt{6 + 3} + 2 = \sqrt{9} + 2 = 3 + 2 = 5 $
Rešitev je pravilna.
3. Iracionalna enačba z več koreni
Pri enačbah z več koreni moramo kvadrirati postopoma. Najprej poskusimo osamiti en koren in kvadrirati, nato nadaljujemo z drugim.
$ \sqrt{x} + \sqrt{x-4} = 4 $
Najprej osamimo en koren, na primer $ \sqrt{x} $:
$ \sqrt{x} = 4-\sqrt{x-4} $
Kvadriramo obe strani:
$ x = (4-\sqrt{x-4})^2 $
Razširimo kvadrat:
$ x = 16-8\sqrt{x-4} + (x-4) $
Poenostavimo:
$ 0 = 12-8\sqrt{x-4} $
Izoliramo koren:
$ \sqrt{x-4} = \frac{3}{2} $
Kvadriramo še enkrat:
$ x-4 = \frac{9}{4} $
$ x = \frac{25}{4} $
Preverimo rešitev, tako da vstavimo $ x = \frac{25}{4} $ nazaj v začetno enačbo in preverimo, ali sta leva in desna stran enaki.
4. Iracionalna enačba s kubičnim korenom
Če se v enačbi pojavi kubični koren, ga odpravimo s kubiranjem.
$ \sqrt[3]{x-1} = 2 $
Kubiramo obe strani:
$ x-1 = 8 $
$1$ prestavimo na desno stran enačbe:
$ x = 9 $
Preverimo rešitev, tako da vstavimo $ x = 9 $ nazaj v enačbo:
$ \sqrt[3]{9-1} = \sqrt[3]{8} = 2 $
Leva stran enačbe se ujema z desno, kar pomeni, da je rešitev pravilna.
Poenostavljanje korenov ter izrazi s potencami in koreni
Poenostavljanje korenov in izrazi s potencami in koreni so osnova za reševanje iracionalnih enačb.
Poenostavljanje korenov
Pri poenostavljanju korenov uporabljamo nekaj osnovnih pravil za množenje in deljenje korenov. Tukaj so najpomembnejša:
🟠 Množenje korenov
$ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $
Če pomnožmo dva korena, združimo njuna korenjenca pod skupen koren.
Na primer: $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6 $
🟠 Deljenje korenov
$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $
Pri deljenju korenov združimo števila pod skupnim korenom.
Na primer: $ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5 $
🟠 Poenostavljanje korena
Če imamo izraz pod kvadratnim korenom, ga lahko razcepimo, če je število popoln kvadrat.
Na primer: $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $
Izrazi s potencami in koreni
Izrazi s potencami in koreni zahtevajo poznavanje pravil, kot so delno korenjenje in racionalizacija. Oglejmo si praktične primere.
🟠 Delno korenjenje
Če se korenjenec lahko deli na popoln kvadrat in preostanek, se koren lahko poenostavi.
Na primer: $ \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} $
🟠 Racionalizacija
Racionalizacija pomeni, da koren odstranimo iz imenovalca tako, da števec in imenovalec pomnožimo z ustreznim korenom.
Na primer: $ \frac{5}{\sqrt{3}} $
Da se znebimo korena v imenovalcu, pomnožimo s $ \sqrt{3} $:
$ \frac{5 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} $
🟠 Izrazi s potencami
Izrazi s potencami vključujejo tudi korene. Pomembno pravilo je:
$ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $
Na primer: $ \sqrt[3]{x^6} = x^2 $
Reševanje iracionalne neenačbe
Iracionalne neenačbe rešujemo tako, da najprej določimo pogoje, pod katerimi neenačba sploh ima smisel. Korenjenec (izraz pod korenom) mora biti nenegativen, saj kvadratni koren negativnega števila med realnimi števili ne obstaja.
Kako rešujemo iracionalno neenačbo
Določimo pogoje: Najprej določimo, pod katerimi pogoji je korenjenec nenegativen. Postavimo pogoj, da mora biti izraz pod korenom večji ali enak nič.
Kvadriranje: Če je koren osamljen na eni strani neenačbe, kvadriramo obe strani, da odstranimo koren. Po kvadriranju je ključno, da preverimo, ali dobljena rešitev ustreza začetnemu pogoju, saj kvadriranje ne ohranja vedno pravilnosti neenačb.
Reševanje iracionalne enačbe primer
$ \sqrt{x-2} \leq 3 $
1. Določimo pogoj:
$ x-2 \geq 0 $ $ x \geq 2 $
To pomeni, da mora biti $ x $ vsaj 2 ali več.
2. Kvadriramo obe strani neenačbe:
$ (\sqrt{x-2})^2 \leq 3^2 $ $ x-2 \leq 9 $
3. Rešimo neenačbo:
$ x \leq 11 $
4. Združimo pogoje:
$ x \geq 2 $ in $ x \leq 11 $.
Končna rešitev je: $ 2 \leq x \leq 11 $
Preverimo rešitev iracionalne enačbe
Preverimo, ali interval $ 2 \leq x \leq 11 $ ustreza prvotni neenačbi. Vstavimo skrajni vrednosti in preverimo, če ustreza:
● Za $ x = 2 $:
$ \sqrt{2-2} = 0 $, kar je manj kot 3. To ustreza.
● Za $ x = 11 $:
$ \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3 $, kar je enako 3. Tudi to ustreza.
Interval $ 2 \leq x \leq 11 $ je pravilna rešitev, saj izpolnjuje vse pogoje in ustreza prvotni neenačbi.
Čestitamo, uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je iracionalna enačba, poenostavljanje korenov in kako se rešujejo izrazi s potencami in koreni. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Iracionalna enačba in iracionalna neenačba: vaje z rešitvami
1. Rešite iracionalne enačbe:
2. Rešite iracionalne enačbe:
3. Rešite iracionalne neenačbe:
Vas zanimajo tudi druge matematične vaje enačbe in neenačbe?
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kako se rešuje iracionalna enačba, hitro poiščite “inštruktor matematike Kranj” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.