Kaj je racionalna funkcija?
Racionalna funkcija je podana z ulomkom, kjer sta števec in imenovalec polinoma:
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$
kjer velja $q(x) \neq 0$
To pomeni, da moramo upoštevati omejitve, saj funkcija ni definirana tam, kjer je imenovalec enak nič.
Pri polinomskih funkcijah je izraz sestavljen le iz vsote in produkta potenc spremenljivke. Pri racionalnih funkcijah pa se pojavljajo ulomki, zaradi katerih graf funkcije lahko vsebuje diskontinuitete.
Primer racionalne funkcije
Oglejmo si funkcijo:
$f(x) = \frac{x^2 + 3x-4}{x-2}$
Števec je polinom $p(x) = x^2 + 3x-4$, imenovalec pa $q(x) = x-2$.
Funkcija je definirana za vse vrednosti $x$, razen tam, kjer je imenovalec enak nič. V tem primeru to pomeni, da iz definicijskega območja izločimo $x = 2$.
V nadaljevanju bomo določili definicijsko območje, ničle, pole in asimptote racionalne funkcije.
Definicijsko območje racionalne funkcije
Racionalna funkcija ni definirana tam, kjer je njen imenovalec enak nič. Zato moramo rešiti enačbo $q(x) = 0$ in iz definicijskega območja izključiti dobljene vrednosti.
Kako določimo definicijsko območje?
Rešimo enačbo $q(x) = 0$.
Izključimo rešitve iz množice realnih števil.
Poiščimo definicijsko območje funkcije:
$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$
Ničle in poli racionalne funkcije
Racionalna funkcija ima ničle tam, kjer je njen števec enak nič, torej pri rešitvah enačbe $p(x) = 0$. Poli so vrednosti, pri katerih je imenovalec enak nič, funkcija pa tam ni definirana, torej rešitve enačbe $q(x) = 0$.
Kako poiščemo ničle?
Rešimo enačbo:
$p(x) = 0$
Če ima števec več rešitev, funkcija ima več ničel.
Primer: ničle racionalne funkcije
Poiščimo ničle funkcije:
$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$
Števec je $p(x) = x^2-4$. Rešimo enačbo:
$x^2-4 = 0$
Razcepimo kvadratni izraz:
$(x-2)(x + 2) = 0$
Rešitve so:
$x = 2$ in $x =-2$
Ker je $x = 2$ tudi pol funkcije, ga ne upoštevamo kot ničlo. Zato ima funkcija samo ničlo $x =-2$.
Kako poiščemo pole?
Rešimo enačbo:
$q(x) = 0$
Če ima imenovalec več rešitev, funkcija ima več polov.
- Pol lihostopen: funkcija spremeni predznak na obeh straneh pola.
- Pol sodostopen: funkcija predznaka ne spremeni.
Primer: kako poiščemo pole funkcije
Poiščimo pole funkcije:
$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$
Imenovalec je $q(x) = x-2$. Rešimo enačbo:
$x-2 = 0$
Rešitev je:
$x = 2$
Ker je $x = 2$ v imenovalcu, funkcija tam ni definirana, kar pomeni, da ima pol pri $x = 2$.
Graf racionalne funkcije
Graf racionalne funkcije se lahko pretrga v točkah, kjer funkcija ni definirana. Oblika grafa je odvisna od ničel, polov in presečišč z osmi.
Kako narišemo graf racionalne funkcije?
Pri risanju grafa upoštevamo naslednje korake:
1. Določimo ničle, pole in presečišča z osmi
- Ničle poiščemo z reševanjem enačbe $p(x) = 0$.
- Poli so rešitve enačbe $q(x) = 0$.
- Presečišče z ordinatno osjo poiščemo tako, da vstavimo $x = 0$ v funkcijo.
2. Poiščemo asimptote:
- Navpične asimptote so pri polih funkcije.
- Vodoravne ali poševne asimptote določimo glede na stopnjo polinoma v števcu in imenovalcu.
3. Narišemo potek funkcije:
- Preverimo predznake funkcije na posameznih intervalih med ničlami in poli.
- Označimo smeri grafa ob asimptotah.
Primer: graf racionalne funkcije
Narišimo graf funkcije:
$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$
🟠 Ničle funkcije:
Števec je $p(x) = x^2-4$. Rešimo enačbo:
$x^2-4 = 0$
$(x-2)(x + 2) = 0$
Rešitvi sta $x = 2$ in $x =-2$. Ker je $x = 2$ tudi pol, ostane samo ničla $x =-2$.
🟠 Poli funkcije:
Imenovalec je $q(x) = x-2$. Rešimo enačbo:
$x-2 = 0$
Funkcija ima pol pri $x = 2$.
🟠 Asimptote:
- Funkcija ima navpično asimptoto pri $x = 2$.
- Ker sta polinoma v števcu in imenovalcu enake stopnje, določimo vodoravno asimptoto: $y = \frac{1}{1} = 1$ Graf funkcije se bo zato približeval premici $y = 1$.
🟠 Presečišče z ordinatno osjo:
Izračunamo $f(0)$:
$f(0) = \frac{0^2-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2$
Presečišče je v točki $(0, 2)$.
🟠 Narišemo graf racionalne funkcije:
- Graf seka os $x$ pri $x =-2$.
- Graf se približuje vodoravni asimptoti $y = 1$.
- Pri $x = 2$ ima graf prelom zaradi navpične asimptote.
Tako dobimo graf racionalne funkcije, ki vključuje vse pomembne značilnosti.
Asimptota racionalne funkcije
Asimptota funkcije opisuje, kako se graf funkcije obnaša pri zelo velikih ali zelo majhnih vrednostih spremenljivke. Asimptota racionalne funkcije je lahko vodoravna, poševna ali navpična, odvisno od razmerja med polinomoma v števcu in imenovalcu.
Kako določimo asimptoto funkcije?
Vodoravna asimptota
- Če je $\deg(p) < \deg(q)$, ima funkcija vodoravno asimptoto pri $y = 0$.
- Če je $\deg(p) = \deg(q)$, je vodoravna asimptota enaka količniku vodilnih koeficientov:
- $y = \frac{a_n}{b_m}$
- kjer sta $a_n$ in $b_m$ vodilna koeficienta števca in imenovalca.
Poševna asimptota
- Če je $\deg(p) = \deg(q)$, vodoravna asimptota obstaja in je enaka količniku vodilnih koeficientov.
- Če je $\deg(p) > \deg(q)$ za natanko $1$, funkcija nima vodoravne asimptote, ampak ima poševno asimptoto, ki jo dobimo z deljenjem števca z imenovalcem.
Navpična asimptota
- Funkcija ima navpične asimptote tam, kjer je imenovalec enak nič, torej pri rešitvah enačbe:
- $q(x) = 0$
- Če je pol sodostopen, graf funkcije na obeh straneh pola ohrani predznak.
- Če je pol lihostopen, funkcija spremeni predznak.
Primer: poiščimo asimptote funkcije
$f(x) = \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2-4}$
🟠Navpična asimptota racionalne funkcije
Rešimo enačbo $q(x) = 0$:
$x^2-4 = 0$
$(x-2)(x + 2) = 0$
Rešitve so $x = 2$ in $x =-2$, kar pomeni, da ima funkcija navpični asimptoti pri $x = 2$ in $x =-2$.
🟠Vodoravna asimptota racionalne funkcije
Ker imata števec in imenovalec enako stopnjo ($\deg(p) = \deg(q) = 2$), izračunamo količnik vodilnih koeficientov:
$y = \frac{2}{1} = 2$
Funkcija ima vodoravno asimptoto pri $y = 2$.
Graf funkcije se bo pri večjih vrednostih $x$ približeval premici $y = 2$, pri $x = 2$ in $x =-2$ pa bo imel prelom zaradi navpičnih asimptot.
Hiter povzetek: lastnosti racionalne funkcije
Racionalna funkcija je kvocient dveh polinomov:
$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}, \quad q(x) \neq 0$
Definicijsko območje določimo tako, da iz enačbe $q(x) = 0$ izločimo ničle imenovalca.
Poli določajo navpične asimptote, kjer se graf funkcije pretrga.
Vedenje pri velikih $x$:
- Če je $\deg(p) < \deg(q)$, je vodoravna asimptota $y = 0$.
- Če je $\deg(p) = \deg(q)$, je vodoravna asimptota količnik vodilnih koeficientov.
- Če je $\deg(p) > \deg(q)$ za $1$, ima funkcija poševno asimptoto.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je racionalna funkcija in kako določimo asimptote racionalne funkcije. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj, ki jih najdete spodaj.
Racionalna funkcija: vaje z rešitvami
1. Narišite graf racionalne funkcije in določite lastnosti funkcije:
- definicijsko območje funkcije,
- zaloga vrednosti funkcije,
- ali je funkcija injektivna (ena-na-ena) ali ne,
- ali je funkcija zvezna ali nezvezna,
- ali je soda ali liha funkcija,
- ali je funkcija periodična ali ne,
- ali je funkcija omejena (zgoraj/spodaj) ali neomejena,
- asimptote funkcije (vodoravne, navpične, poševne),
- koordinate presečišč z absciso (x-os) in ordinato (y-os),
- lokalni ekstremi (lokalni minimumi in maksimumi),
- intervali monotonosti (naraščajoča/padajoča funkcija).
Vrste funkcij: vaje z rešitvami
Praksa je ključ do uspeha pri učenju matematike, zato izkoristite vsa dostopna učna gradiva. Srečno reševanje! P. s.: Dodali smo vse rešitve nalog in vaj.
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj je racionalna funkcija, hitro poiščite “inštruktor matematike Koper” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.
