Kako rešujemo besedilne naloge z matrikami
Besedilne naloge z matrikami rešujemo tako, da podatke iz naloge zapišemo v obliki sistema linearnih enačb. Enačbe nato preoblikujemo v razširjeno matriko, ki jo rešujemo z matematičnimi postopki, kot je Gaussova metoda.
Pri tem najprej iz besedila razberemo ključne podatke, določimo spremenljivke in zapišemo enačbe, ki opisujejo odnose med podatki. Nato matriko postopoma obdelujemo z vrstičnimi operacijami, dokler ne pridemo do rešitve.
Primer uporabe matrik pri besedilnih nalogah
Naloga: Dve posodi vsebujeta vodo z različnima temperaturama. Če zmešamo 240 g vode iz prve posode z 260 g vode iz druge posode, bo temperatura vode 52 °C. Če zmešamo 180 g vode iz prve posode s 120 g vode iz druge posode, bo temperatura vode 46 °C. Določite temperaturi vode v obeh posodah.
1. Zapišemo sistem enačb
Iz besedila naloge razberemo ključne podatke in jih prevedemo v sistem enačb. Če naloga govori o mešanju vode, definiramo spremenljivki kot $x$ (temperatura v prvi posodi) in $y$ (temperatura v drugi posodi).
Sistem enačb:
$ \begin{cases}
240x + 260y = 500 \cdot 52 \\
180x + 120y = 300 \cdot 46
\end{cases}
$
2. Zapišemo razširjeno matriko
Ko enačbe zapišemo, jih preoblikujemo v matriko, ki vsebuje koeficiente in rezultate.
$ \left[\begin{array}{cc|c}
240 & 260 & 26000 \\
180 & 120 & 13800
\end{array}\right]
$
3. Uporabimo Gaussovo metodo za rešitev sistema
Prvi korak: Delimo prvo vrstico z $240$, da pivot postane $1$:
$
\left[\begin{array}{cc|c}
1 & \frac{260}{240} & \frac{26000}{240} \\
180 & 120 & 13800
\end{array}\right]
$
Drugi korak: Odštejemo dele pivota iz spodnje vrstice, da elemente pod pivotom spremenimo v nič.
Tretji korak: Nadaljujemo z vrstičnimi operacijami, dokler ne dobimo zgornje trikotne matrike.
Rešitev je:
$x = 26$, $y = 76$
4. Interpretiramo rezultate
Temperaturi vode sta $26^\circ \mathrm{C}$ v prvi posodi in $76^\circ \mathrm{C}$ v drugi posodi. Rešitvi preverimo tako, da številki vstavimo nazaj v enačbi in preverimo skladnost s podanimi pogoji.
Praktični primeri besedilnih nalog z matrikami
1. Kako razporedimo vire (delavce, stroje …)
Trije delavci morajo dokončati tri naloge. Vsaka naloga zahteva določen čas:
- Prvi delavec porabi 2 uri za prvo nalogo, 3 ure za drugo nalogo in 1 uro za tretjo nalogo.
- Drugi delavec porabi 4 ure za prvo nalogo, 1 uro za drugo nalogo in 2 uri za tretjo nalogo.
- Tretji delavec porabi 3 ure za prvo nalogo, 2 uri za drugo nalogo in 5 ur za tretjo nalogo.
Skupni časi za dokončanje nalog so določeni. Skupno delo na prvi nalogi traja 8 ur, na drugi nalogi 7 ur, na tretji nalogi pa 10 ur.
Zapišemo sistem enačb:
Nalogo predstavimo z enačbami, ki opišejo čas, potreben za vsako nalogo:
$
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 + x_3 = 8 \\
4x_1 + x_2 + 2x_3 = 7 \\
3x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 10
\end{cases}
$
$x_1$, $x_2$, $x_3$ predstavljajo čas, ki ga posamezen delavec porabi za naloge.
Koeficienti v enačbah označujejo ure, ki jih vsak delavec porabi za določeno nalogo.
Razširjena matrika:
Sistem enačb zapišemo v obliki matrike:
$
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 1 & 8 \\
4 & 1 & 2 & 7 \\
3 & 2 & 5 & 10
\end{array}\right]
$
Rešitev določimo z Gaussovo metodo:
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$.
To pomeni, da:
- Prvi delavec dela 1 uro,
- drugi delavec dela 2 uri,
- tretji delavec dela 3 ure.
2. Finančna besedilna naloga
Podjetje izdeluje dva izdelka: A in B. Za izdelavo porabijo naslednje količine surovin:
- Izdelek A potrebuje 2 enoti surovine X in 3 enote surovine Y.
- Izdelek B potrebuje 1 enoto surovine X in 2 enoti surovine Y.
- Skupno razpoložljive surovine so 12 enot X in 18 enot Y.
Zapišemo sistem enačb:
$
\begin{cases}
2x + 3y = 18 \\
x + 2y = 12
\end{cases}
$
Rešitev je:
$x = 2$, $y = 6$, kar pomeni, da izdelamo 2 enoti izdelka A in 6 enot izdelka B.
3. Naloga s premicami in preseki
Poiščimo presečišče premic:
$y = 2x + 3$
$y = -x + 5$
Zapišemo sistem enačb:
$
\begin{cases}
y-2x = 3 \\
y + x = 5
\end{cases}
$
Razširjena matrika:
$
\left[\begin{array}{cc|c}
-2 & 1 & 3 \\
1 & 1 & 5
\end{array}\right]
$
Rešitev:
$x = 1$, $y = 4$.
Točka presečišča je $(1, 4)$.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo besedilne naloge z matrikami. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Besedilne naloge matrike: vaje z rešitvami
1. Na bazenu je skupaj 5.500 moških, žensk in otrok. Žensk je dvakrat toliko kot moških, otrok pa je štirikrat toliko kot žensk. Koliko je na bazenu moških, žensk in otrok?
2. Če eno stran trikotnika povečamo za 11 cm, drugo stran pa zmanjšamo za 11 cm, dobimo enakostranični trikotnik. Če prvo stran pomnožimo s 4, je za 10 cm daljša od trikratnika tretje strani. Določite dolžine stranic trikotnika.
3. Če en razsežnost kvadra povečamo za 1 cm, se njegova površina poveča za 54 cm². Če drugo razsežnost povečamo za 2 cm, se površina poveča za 96 cm². Če tretjo razsežnost povečamo za 3 cm, se površina poveča za 126 cm². Določite mere kvadra.
4. Štirimestno število ima vsoto cifer 20. Vsota njegovih zadnjih dveh cifer je enaka drugi cifri povečani za 5, vsota zunanjih cifer pa je enaka drugi cifri, zmanjšani za 3. Če cifre števila zapišemo v obratnem vrstnem redu, se število poveča za 2.178. Poiščite to število.
5. Valj iz medenine ima maso 6,297 kg in prostornino 750 cm³. Koliko kilogramov bakra in koliko kilogramov cinka vsebuje valj? (Gostota bakra je 8.900 kg/m³, gostota cinka je 7.100 kg/m³.)
6. Z dodajanjem 30 kg čistega kositra moramo pripraviti bronasto zlitino, ki vsebuje 75 % bakra in 25 % kositra. Na voljo imamo zlitino B, ki vsebuje 85 % bakra in 15 % kositra. Koliko kilogramov zlitine B moramo uporabiti? Koliko kilogramov zlitine A bomo dobili?
7. Dve posodi vsebujeta vodo z različnima temperaturama. Če zmešamo 240 g vode iz prve posode z 260 g vode iz druge posode, bo temperatura vode 52 °C. Če zmešamo 180 g vode iz prve posode s 120 g vode iz druge posode, bo temperatura vode 46 °C. Določite temperaturi vode v obeh posodah.
8. Koliko gramov 80 % raztopine in koliko gramov 54 % raztopine moramo zmešati, da dobimo 100 g 60 % raztopine? (% se nanaša na maso).
9. Koliko litrov 30 % raztopine in koliko litrov 50 % raztopine moramo zmešati, da dobimo 25 litrov 42 % raztopine? (% se nanaša na prostornino).
10. Žveplova kislina je sestavljena iz vodika, kisika in žvepla. Razmerje mase vodika in žvepla je 1 : 16, razmerje mase kisika in žvepla pa je 2 : 1. Koliko vsakega elementa vsebuje 1.323 g kisline?
11. Koliko kilogramov železa in koliko kilogramov žvepla vsebuje 100 kg spojine FeS, če sta relativni atomski masi železa 56 in žvepla 32?
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti besedilne naloge matrike, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.