Determinanta matrike
Determinanta je število, ki ga določimo za vsako kvadratno matriko. Označujemo jo z $ \det(A) $ ali $ |A| $, kjer je $ A $ kvadratna matrika. Determinanta se izračuna iz elementov matrike in pove, ali je matrika obrnljiva ter kako so njeni vektorji razporejeni v prostoru.
Če je $ \det(A) \neq 0 $, je matrika obrnljiva in sistem enačb, ki ga predstavlja, ima točno eno rešitev. Če je $ \det(A) = 0 $, matrika ni obrnljiva in sistem bodisi nima rešitev bodisi jih ima neskončno mnogo.
Elementi determinante so razporejeni podobno kot v matriki, vendar determinanta predstavlja eno samo vrednost.
Na primer, za matriko $ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $ je determinanta:
$ \det(A) = a \cdot d – b \cdot c $
Determinanto višjih redov (npr. $3 \times 3$) izračunamo s Sarrusovim pravilom ali Laplaceovim razvojem, kjer uporabimo poddeterminante.
Računanje determinante
1. Determinanta matrike $2 \times 2$
Za $2 \times 2$ matriko $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ determinanto izračunamo po formuli:
$ \det(A) = a \cdot d – b \cdot c $
Kako izračunamo determinanto
- Pomnožimo elementa glavne diagonale ($a \cdot d$)
- Pomnožimo elementa stranske diagonale ($b \cdot c$)
- Odštejemo vrednost druge diagonale od prve
Primer:
Naj bo $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$
- Pomnožimo $3 \cdot 5 = 15$.
- Pomnožimo $4 \cdot 2 = 8$.
- Izračunamo $15 – 8 = 7$.
- Determinanta matrike $A$ je $7$.
2. Determinanta $3 \times 3$ matrike in Sarrusovo pravilo
Za $3 \times 3$ matriko $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ uporabimo Sarrusovo pravilo.
Sarrusovo pravilo za računanje determinante
1. Razširitev matrike: prvo in drugo stolpec matrike prepišemo na desno stran
$ \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a & b & c & a & b \\ d & e & f & d & e \\ g & h & i & g & h \end{pmatrix} $
2. Pozitivni produkti: izračunamo vsoto produktov diagonal, ki potekajo od leve zgoraj proti desni spodaj
$ (a \cdot e \cdot i) + (b \cdot f \cdot g) + (c \cdot d \cdot h) $
3. Negativni produkti: izračunamo vsoto produktov diagonal, ki potekajo od desne zgoraj proti levi spodaj
$ (c \cdot e \cdot g) + (b \cdot d \cdot i) + (a \cdot f \cdot h) $
4. Izračun determinante: Od pozitivnih produktov odštejemo negativne produkte
Primer: Sarrusovo pravilo za determinanto
Naj bo $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
1. Razširimo matriko:
$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{pmatrix} $
2. Izračunamo leve diagonale:
$ (1 \cdot 5 \cdot 9) + (2 \cdot 6 \cdot 7) + (3 \cdot 4 \cdot 8) = 45 + 84 + 96 = 225 $
3. Izračunamo desne diagonale:
$ (3 \cdot 5 \cdot 7) + (2 \cdot 4 \cdot 9) + (1 \cdot 6 \cdot 8) = 105 + 72 + 48 = 225 $
Odštejemo $225 – 225 = 0$
Determinanta matrike $A$ je $0$, zato matrika ni obrnljiva.
Lastnosti determinante
1. Determinanta ničelne matrike:
Če je $\det(A) = 0$, matrika ni obrnljiva. Takšna matrika nima enolične rešitve za sistem linearnih enačb.
2. Determinanta produkta matrik:
Če matriki $A$ in $B$ množimo, velja:
$ \det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B) $
3. Determinanta inverzne matrike:
Obratna matrika ima determinanto:
$ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} $
Trikotna matrika
Pri trikotnih matrikah (zgornje ali spodnje) se determinanta izračuna kot zmnožek diagonalnih elementov.
Trikotna matrika: formula
$ \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot \cdots \cdot a_{nn} $.
Trikotna matrika: primer
Matrika $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ je zgornja trikotna.
Diagonalni elementi so $3, 4, 6$.
Determinanta je:
$ \det(A) = 3 \cdot 4 \cdot 6 = 72 $.
Operacije na vrsticah
- Zamenjava dveh vrstic:
Determinanta spremeni predznak. Če $\det(A) = 5$, potem po zamenjavi dveh vrstic velja $\det(A’) = -5$. - Množenje vrstice s številom $k$:
Determinanta se pomnoži s tem številom. Če je $\det(A) = 7$ in pomnožimo vrstico z $2$, velja $\det(A’) = 7 \cdot 2 = 14$. - Prištevanje večkratnika ene vrstice k drugi:
Determinanta ostane nespremenjena.
Primer:
Matrika $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
Če zamenjamo vrstici: $\det(A’) = -(1 \cdot 4 – 2 \cdot 3) = -(-2) = 2$
Če pomnožimo prvo vrstico s $2$: $\det(A’) = 2 \cdot (1 \cdot 4 – 2 \cdot 3) = -4$
Te lastnosti omogočajo poenostavitev računanja determinante pri večjih matrikah.
Laplaceov razvoj in poddeterminanta
Laplaceov razvoj omogoča izračun determinant višjih redov z uporabo poddeterminant. Razvoj izvedemo tako, da izberemo vrstico ali stolpec in determinanto izrazimo kot vsoto produktov elementov izbrane vrstice ali stolpca ter pripadajočih poddeterminant.
Formula za Laplaceov razvoj
$ \det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \cdot a_{ij} \cdot \det(A_{ij}) $
- $a_{ij}$: element v $i$-ti vrstici in $j$-tem stolpcu.
- $A_{ij}$: poddeterminanta, ki jo dobimo z odstranitvijo $i$-te vrstice in $j$-tega stolpca.
- $(-1)^{i+j}$: predznak, določen z vsoto indeksov $i$ in $j$.
Poddeterminanta
Poddeterminanta je manjša determinanta matrike, ki nastane z odstranitvijo določene vrstice in stolpca. Ta metoda omogoča razčlenitev velikih determinant na obvladljivejše dele.
Laplaceov razvoj: primer
Matrika $A$:
$ A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 5 \\ 6 & 3 & 2 \end{pmatrix} $
Razvijmo $\det(A)$ po prvi vrstici ($i = 1$):
$ \det(A) = 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} $
Izračunamo poddeterminante:
- $\det\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 – 5 \cdot 3 = -13$
- $\det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = 4 \cdot 2 – 5 \cdot 6 = -22$
- $\det\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 6 & 3 \end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 1 \cdot 6 = 6$
Končni rezultat:
$ \det(A) = 3 \cdot (-13) – 2 \cdot (-22) + 1 \cdot 6 = -39 + 44 + 6 = 11 $
Laplaceov razvoj je učinkovita metoda za določanje determinant matrik višjih redov.
Primer računanja determinante
Izračunajmo determinanto $3 \times 3$ matrike s pomočjo Sarrusovega pravila. Uporabili bomo matriko:
$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$
Praktičen primer determinanta matrike 3×3
1. Razširitev matrike: Razširimo matriko z njenima prvima dvema stolpcema, da omogočimo uporabo Sarrusovega pravila:
$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 \end{pmatrix} $
2. Pozitivni produkti: Izračunamo zmnožke elementov diagonal, ki potekajo od leve zgoraj proti desni spodaj:
$ (2 \cdot 5 \cdot 9) + (1 \cdot 6 \cdot 7) + (3 \cdot 4 \cdot 8). $ $ 90 + 42 + 96 = 228 $
3. Negativni produkti: Izračunamo zmnožke elementov diagonal, ki potekajo od desne zgoraj proti levi spodaj:
$ (3 \cdot 5 \cdot 7) + (2 \cdot 6 \cdot 8) + (1 \cdot 4 \cdot 9). $ $ 105 + 96 + 36 = 237 $
4. Izračun determinante: Odštejemo vsoto negativnih produktov od vsote pozitivnih produktov:
$ \det(A) = 228 – 237 = -9 $
Rezultat:
Determinanta matrike $A$ je $-9$. Rezultat determinante pomeni, da matrika ni singularna, saj je $\det(A) \neq 0$.
Uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kaj je determinanta matrike in kako se izračuna. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Determinanta matrike: vaje z rešitvami
1. Izračunaj determinanto matrike $M$:
2. Rešite enačbo, ki je podana z determinanto:
Druge matematične vaje matrike
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj je determinanta matrike, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.