Besedilna naloga z neenačbo
Besedilna naloga z neenačbo je naloga, kjer iz besedila prepoznamo neznanko in nato sestavimo neenačbo za izračun te neznanke. Neenačba je matematični zapis, ki namesto znaka enakosti ($=$) uporablja znake neenakosti, kot so $>$, $<$, $\geq$, ali $\leq$.
Pri reševanju besedilne naloge neenačbe moramo poiskati vse vrednosti neznanke, ki izpolnjujejo pogoje naloge.
Primer besedilna naloga z neenačbo
Naloga: Eva si želi kupiti več kot 3 majice. Vsaka majica stane 8 evrov. Eva ima 50 evrov. Koliko majic največ lahko kupi?
1. Prepoznamo neznanko:
Naj bo $x$ število majic, ki jih lahko Eva kupi.
2. Zapišemo neenačbo:
Vsaka majica stane 8 evrov, Eva pa ima skupaj 50 evrov. Zanima nas, koliko majic največ lahko kupi, zato zapišemo neenačbo:
$8x \leq 50$
3. Rešimo neenačbo:
Delimo obe strani z 8 in tako osamimo $x$:
$x \leq \frac{50}{8}$ $x \leq 6.25$
Ker Eva ne more kupiti dela majice, lahko kupi največ 6 majic.
Rešitev: Eva lahko kupi največ 6 majic.
Kako rešujemo besedilne naloge neenačbe
Reševanje besedilne naloge neenačbe je zelo podobno reševanju enačb, le da uporabljamo znake neenakosti ($>$, $<$, $\geq$, $\leq$). Pri tem moramo paziti, da pri deljenju ali množenju z negativnim številom obrnemo znak neenakosti. Pri reševanju neenačb sledimo naslednjim korakom:
1. Prepoznamo neznanko:
Najprej iz besedila naloge ugotovimo, katero količino moramo izračunati. To količino označimo z neznanko, na primer $x$.
2. Zapišemo neenačbo:
Besedilo naloge pretvorimo v matematično neenačbo, kjer ena stran predstavlja en del naloge, druga stran pa drugi del, pri čemer uporabimo ustrezen znak neenakosti.
3. Rešimo neenačbo:
Z osnovnimi matematičnimi operacijami (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) rešimo neenačbo. Neznanko osamimo na eni strani neenačbe. Pazimo, da obrnemo znak neenakosti, če delimo ali množimo z negativnim številom.
4. Preverimo rešitev:
Rešitev preverimo tako, da jo vstavimo nazaj v začetno neenačbo in preverimo, ali pogoji naloge držijo.
Primer reševanje besedilne naloge neenačbe
Naloga: Marko želi kupiti najmanj 5 knjig. Vsaka knjiga stane 9 evrov. Marko ima 50 evrov. Koliko knjig si lahko privošči?
1. Prepoznamo neznanko:
Naj bo $x$ število knjig, ki jih lahko Marko kupi.
2. Zapišemo neenačbo:
Vsaka knjiga stane 9 evrov, Marko pa ima skupaj 50 evrov. Neenačba je:
$9x \leq 50$
3. Rešimo neenačbo:
Obe strani delimo z $9$, da izoliramo $x$:
$x \leq \frac{50}{9}$
$x \leq 5.56$
Marko lahko kupi največ 5 knjig, saj ne more kupiti dela knjige.
4. Preverimo rešitev:
Če Marko kupi 5 knjig, bo plačal $9 \times 5 = 45$ evrov, kar ustreza njegovemu proračunu.
Besedilne naloge neenačbe: vaje in primeri
Primer 1: enostavna linearna neenačba
Naloga: Nika si želi kupiti manj kot 7 lončkov za rože. Vsak lonček stane 5 evrov. Nika ima 30 evrov. Koliko lončkov največ si lahko privošči?
1. Prepoznamo neznanko:
Naj bo $x$ število lončkov, ki jih lahko Nika kupi.
2. Zapišemo neenačbo:
Vsak lonček stane 5 evrov, Nika pa ima skupaj 30 evrov. Neenačba je:
$5x \leq 30$
3. Rešimo neenačbo:
Delimo obe strani z 5, da osamimo $x$:
$x \leq \frac{30}{5}$
$x \leq 6$
Nika lahko kupi največ 6 lončkov.
4. Preverimo rešitev:
Če Nika kupi 6 lončkov, bo plačala $5 \times 6 = 30$ evrov, kar ustreza njenemu proračunu.
Rešitev: Nika lahko kupi največ 6 lončkov.
Primer 2: besedilna naloga linearna neenačba
Naloga: Maja in Tina imata skupaj več kot 100 evrov. Maja ima 20 evrov več kot Tina. Koliko denarja ima Maja in koliko Tina?
1. Prepoznamo neznanki:
Naj bo $x$ znesek, ki ga ima Tina, Maja pa ima $x + 20$.
2. Zapišemo neenačbo:
Skupaj imata več kot 100 evrov, zato zapišemo neenačbo:
$x + (x + 20) > 100$
3. Rešimo neenačbo:
Združimo podobne člene:
$2x + 20 > 100$
Prestavimo 20 na drugo stran neenačbe:
$2x > 80$
Obe strani delimo z 2:
$x > \frac{80}{2}$
$x > 40$
Tina ima več kot 40 evrov, Maja pa $x + 20$, torej več kot 60 evrov.
4. Preverimo rešitev:
Če ima Tina 41 evrov, ima Maja $41 + 20 = 61$ evrov. Skupaj imata $41 + 61 = 102$ evrov, kar je več kot 100 evrov.
Rešitev: Tina ima več kot 40 evrov, Maja pa več kot 60 evrov.
Primer 3: besedilna naloga kvadratna neenačba
Naloga: Imamo kvadratno neenačbo $x^2-6x + 8 \leq 0$. Poiščite rešitev.
1. Prepoznamo neznanko:
Neznanka, ki jo moramo izračunati, je $x$.
2. Zapišemo neenačbo:
Kvadratna neenačba je že zapisana kot $x^2-6x + 8 \leq 0$. Sedaj rešujemo kvadratno enačbo $x^2-6x + 8 = 0$.
3. Rešimo kvadratno neenačbo:
Rešimo kvadratno enačbo s pomočjo razcepa:
$(x-4)(x-2) = 0$
Rešitvi kvadratne enačbe sta $x = 2$ in $x = 4$.
Sedaj preučimo, v katerih intervalih neenačba $x^2-6x + 8 \leq 0$ drži. Intervali, ki jih preučimo, so določeni z ničlami enačbe.
4. Poiščemo rešitve neenačbe:
- Interval $(-\infty, 2)$:
Vzamemo vrednost $x = 1$ in jo vstavimo v neenačbo: $1^2-6 \times 1 + 8 = 1-6 + 8 = 3$, kar ne ustreza pogoju $3 \leq 0$. Ta interval ne vsebuje rešitev.
- Interval $[2, 4]$:
Vzamemo vrednost $x = 3$ in jo vstavimo v neenačbo: $3^2-6 \times 3 + 8 = 9-18 + 8 = -1$, kar ustreza pogoju $-1 \leq 0$. Ta interval vsebuje rešitve.
- Interval $(4, \infty)$:
Vzamemo vrednost $x = 5$ in jo vstavimo v neenačbo: $5^2-6 \times 5 + 8 = 25-30 + 8 = 3$, kar ne ustreza pogoju $3 \leq 0$. Ta interval ne vsebuje rešitev.
Neenačba drži v intervalu $[2, 4]$, kar pomeni, da $x$ leži med $2$ in $4$.
4. Preverimo rešitev:
Vstavimo vrednosti znotraj intervala, npr. $x = 3$:
$3^2-6 \times 3 + 8 = 9-18 + 8 = -1$, kar ustreza pogojem neenačbe $-1 \leq 0$.
Rešitev: $x \in [2, 4]$
Besedilne naloge neenačbe: pogoste napake
🟠 Neenačbo oblikujemo napačno
Če neenačbo zapišemo napačno, bo tudi dobljeni rezultat napačen. Preverimo, ali smo pravilno prepoznali neznanko in ustrezno zapisali vse podatke.
Nasvet: Preden začnemo reševati neenačbo, jo dvakrat preverimo. Na primer, če moramo poiskati število, ki je večje od 10, mora biti neenačba $x > 10$ in ne $x \geq 10$.
🟠 Napačno delimo/množimo z negativnim številom
Če pri reševanju neenačbe množimo ali delimo z negativnim številom, moramo obrniti znak neenakosti.
Nasvet: Ko delimo ali množimo z negativnim številom, vedno obrnemo znak neenakosti. Na primer: $-2x > 8$ postane $x < \frac{8}{-2}$, torej $x < -4$.
🟠 Pozabimo preveriti rešitev
Če rešitve ne preverimo, lahko hitro spregledamo napako.
Nasvet: Rešitev vedno preverimo tako, da jo vstavimo nazaj v neenačbo. Na primer: Če dobimo $x = 3$ za neenačbo $2x + 5 < 10$, preverimo tako: $2 \times 3 + 5 = 11$, kar ne ustreza pogoju $11 < 10$.
🟠 Izrazov ne poenostavimo
Če izrazov ne poenostavimo pravilno, težko dobimo pravilen rezultat.
Nasvet: Izraze poenostavimo preden začnemo reševati neenačbo. Na primer: $3x + 2x \geq 10$ poenostavimo v $5x \geq 10$.
🟠 Zanemarimo odprti ali zaprti interval
Pri reševanju neenačb pazimo na razliko med odprtimi ($<$, $>$) in zaprtimi ($\leq$, $\geq$) intervali.
Nasvet: Vedno preverimo, ali mora biti interval odprt ali zaprt, odvisno od uporabljenega znaka. Na primer, pri neenačbi $x \geq 5$ rešitev vključuje tudi $x = 5$, pri $x > 5$ število 5 ni vključeno.
Čestitamo, uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo besedilne naloge z enačbami. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Besedilne naloge neenačbe: vaje z rešitvami
1. Poišči največje celo število, ki je rešitev neenačbe $1.6-\left( 3.2-0.2y \right) < 5.1$.
2. Turisti so iz točke A na bregu reke z motornim čolnom odpluli po toku reke. Tok reke ima hitrost 2 km/h, hitrost čolna pa je 18 km/h. Do katere razdalje od točke A lahko turisti plujejo, da plovba ne bo trajala dlje kot 3 ure?
3. Poišči naravno število, za katero velja naslednje: če od njega odštejemo 2 in rezultat delimo s 3, dobimo ulomek, ki je manjši od 1. Katero število je to?
4. Poišči dvomestno pozitivno število, ki je manjše od 64 in pri katerem je števka desetic za 3 manjša od števke enic.
5. Tomaž je na začetku šolskega leta dobil nezadostno oceno. Kolikokrat mora zdaj dobiti oceno odlično, da bo imel na koncu na spričevalu oceno prav dobro?
6. Poišči vsa dvomestna števila, ki so večja od 40 in manjša od 80, pri katerih je števka enic za 4 manjša od števke desetic.
7. Če turist poveča svojo hitrost za 1 km/h, v 4 urah prepotuje več kot 20 km. Če pa zmanjša hitrost za 1 km/h, v 5 urah prepotuje manj kot 20 km. Kolikšna je njegova začetna hitrost?
8. Dvomestno število ima števko enic za 1 manjšo od števke desetic. Če k temu številu prištejemo 7, dobimo število, ki je večje od 19 in manjše od 51. Katera dvomestna števila ustrezajo tem pogojem?
9. Poišči ulomek, za katerega velja: če imenovalec zmanjšamo za 1, je ulomek enak $\frac{1}{2}$. Če števec povečamo za 20, dobimo ulomek, ki je večji od 2 in manjši od 3.
10. Če bi traktorist vsak dan preoral 2 hektarja več, kot je načrtoval, bi v 9 dneh preoral več kot 84 hektarjev. Če bi vsak dan preoral 1 hektar manj, bi v 12 dneh preoral največ 84 hektarjev. Koliko hektarjev naj bi traktorist po načrtu oral na dan?
11. Ena od katet pravokotnega trikotnika je za 2 cm daljša od druge. Koliko mora meriti krajša kateta, da bo hipotenuza daljša od 10 cm?
12. Katere vrednosti lahko zavzame $(m)$, če morajo biti koreni enačbe $m^2x^2 + 2mx + 1 = 0$ v intervalu $\langle 3, 5 \rangle$ ?
13. V posodi je 8 litrov 26-odstotne raztopine. Kolikšen odstotek mora imeti raztopina v 10-litrskem vsebniku, da bo zmes obeh raztopin po mešanju vsaj 50-odstotna in največ 60-odstotna?
Vas zanimajo tudi druge matematične vaje enačbe in neenačbe?
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kako se rešuje besedilne naloge neenačbe, hitro poiščite “inštruktor matematike Kranj” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.