Besedilne naloge z enačbami
Besedilne naloge z enačbami so naloge, kjer iz besedila razberemo neznanko in nato sestavimo enačbo za njen izračun. Enačba je matematični zapis, ki enači levi in desni izraz z znakom enakosti ($=$).
Splošna oblika linearne enačbe, ki jo pri reševanju besedilnih nalog uporabljamo zelo pogosto, je:
$ax + b = c$
Kjer sta $a$ in $b$ števili, $x$ pa neznanka, ki jo moramo izračunati.
Več o tem, kako rešujemo linearno enačbo, si oglej tukaj. Kratek povzetek:
$2x + 5 = 15$
Najprej prenesemo $5$ na desno stran enačbe:
$2x = 15-5$
Nato obe strani delimo z $2$:
$x = \frac{10}{2}$
Rešitev enačbe je:
$x = 5$
Kako rešujemo besedilne naloge enačbe
Kako se lotimo reševanja besedilnih nalog? Preprosto, če sledite spodnjim korakom za reševanje besedilne naloge enačbe.
1. Prepoznamo neznanko
V besedilu naloge prepoznamo količino, ki jo moramo izračunati. Ta količina je neznanka, ki jo označimo z $x$.
2. Zapišemo enačbo
Nalogo prevedemo v matematični zapis, kjer besedilo pretvorimo v enačbo. Ena stran enačbe predstavlja en del naloge, druga pa drugi del.
3. Rešimo enačbo
Z osnovnimi matematičnimi operacijami rešimo enačbo. Neznanko osamimo na eni strani enačbe z uporabo seštevanja, odštevanja, množenja ali deljenja.
4. Preverimo rešitev
Rešitev preverimo tako, da jo vstavimo nazaj v začetno enačbo in preverimo, ali pogoji naloge držijo.
Besedilna naloga enačba: primeri
Primer 1: besedilna naloga z enačbo
Naloga: Matej je star štirikrat toliko, kot bo njegova sestra čez 6 let. Koliko let je star Matej?
1. Prepoznamo neznanko: Naj bo $x$ starost Mateja danes.
2. Zapišemo enačbo: Matej je štirikrat starejši od svoje sestre, ki bo čez 6 let stara $y + 6$ let, torej:
$x = 4(y + 6)$
3. Rešimo enačbo: Razširimo oklepaj: $x = 4y + 24$
Če vemo, da je Matej star $36$ let, enačbo postavimo takole: $36 = 4y + 24$
Odštejemo $24$ in dobimo:
$12 = 4y$
Obe strani enačbe delimo s $4$:
$y = \frac{12}{4}$ → $y = 3$
Matejeva sestra je danes stara $3$ leta, Matej pa $36$ let.
4. Preverimo rešitev: Čez 6 let bo sestra stara $3 + 6 = 9$ let. Matej je štirikrat starejši, torej $4 \times 9 = 36$, kar potrdi pravilnost rešitve.
Primer 2: besedilna naloga linearna enačba
Naloga: Andrej ima 24 evrov in želi kupiti pice. Ena pica stane 6 evrov. Koliko pic lahko kupi Andrej?
1. Prepoznamo neznanko: Naj bo $x$ število pic, ki jih Andrej lahko kupi.
2. Zapišemo enačbo: Cena ene pice je 6 evrov, Andrej pa ima skupaj 24 evrov.
Enačba je:
$6x = 24$
3. Rešimo enačbo:
Obe strani enačbe delimo s $6$:
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$
4. Preverimo rešitev: Če Andrej kupi 4 pice, bo plačal $6 \times 4 = 24$ evrov.
Rešitev: Andrej lahko kupi 4 pice.
Primer 3: besedilna naloga zapletena linearna enačba
Naloga: Luka in Tomaž skupaj zaslužita 120 evrov na dan. Luka zasluži dvakrat več kot Tomaž. Koliko zasluži vsak od njiju?
1. Prepoznamo neznanki: Naj bo $x$ dnevni zaslužek Tomaža. Luka zasluži dvakrat toliko, torej $2x$.
2. Zapišemo enačbo:
Skupaj zaslužita 120 evrov, zato zapišemo:
$ x + 2x = 120 $
3. Rešimo enačbo:
Seštejemo:
$ 3x = 120 $
Delimo obe strani s $3$:
$ x = \frac{120}{3} $
$ x = 40 $
Tomaž zasluži 40 evrov na dan, Luka pa $ 2 \times 40 = 80 $ evrov na dan.
4. Preverimo rešitev: Skupni zaslužek je $40 + 80 = 120$, kar ustreza pogojem.
Rešitev: Tomaž zasluži 40 evrov na dan, Luka pa 80 evrov.
Besedilne naloge z enačbami: pogoste napake
🟠 Enačbo oblikujemo napačno
Ko enačbo oblikujemo napačno, so tudi rezultati besedilne naloge z enačbo napačni. Preverimo, ali smo pravilno prepoznali neznanko in pravilno zapisali vse podatke.
Nasvet: Preden enačbo začnemo reševati, jo vedno dvakrat preverimo. Na primer, če Luka zasluži dvakrat več kot Tomaž, mora biti enačba $x + 2x = 120$ in ne $x + x = 120$.
🟠 Izraz prenesemo brez spremembe predznaka
Ko prenesemo izraz na drugo stran enačbe, ne smemo pozabiti spremeniti predznaka.
Nasvet: Pri prenosu izraza vedno spremenimo predznak. Na primer: $x + 5 = 12$ postane $x = 12 – 5$.
🟠 Napačno delimo/množimo z negativnim številom
Ko pri neenačbi delimo ali množimo z negativnim številom, moramo obrniti znak neenakosti.
Nasvet: Obrnemo znak neenakosti. Na primer: $-2x > 6$ postane $x < \frac{6}{-2}$, kar pomeni $x < -3$.
🟠 Pozabimo preveriti rešitev
Če rešitve ne preverimo, lahko hitro spregledamo napako.
Nasvet: Rešitev vedno preverimo tako, da jo vstavimo nazaj v enačbo. Če je $x = 3$ rešitev za enačbo $2x + 5 = 11$ → preverimo: $2 \times 3 + 5 = 11$.
🟠 Izrazov ne poenostavimo
Če izrazov ne poenostavimo, težko dobimo pravilen rezultat.
Nasvet: Najprej poenostavimo izraze. Na primer: $2x + 3x$ poenostavimo v $5x$, preden nadaljujemo.
Čestitamo, uspešno ste se prebili skozi snov ter osvojili, kako rešujemo besedilne naloge z enačbami. Želimo vam veliko uspeha pri reševanju matematičnih vaj. Povezave najdete spodaj 👇
Besedilne naloge enačbe: vaje z rešitvami
1. Turisti so nastanjeni v treh hotelih. V drugem hotelu je 8 turistov več kot v prvem, v tretjem pa 14 turistov več kot v drugem. Koliko turistov je v vsakem hotelu, če jih je skupaj 258?
2. Sestri Jana in Dana imata skupaj privarčevanih 220 €. Jana želi na izlet vzeti petino svojih prihrankov, Dana pa četrtino svojih. Po tem bosta imeli na izletu skupaj 50 €. Koliko evrov je privarčevala Jana in koliko Dana?
3. Števec ulomka je za 2 manjši od imenovalca. Če števec zmanjšamo za 1 in imenovalec povečamo za 3, bo ulomek enak ¼. Določi ulomek.
4. Trije pleskarji naj bi prebarvali most. Prvi bi delo opravil v 5 dneh, drugi v 6 dneh, tretji pa v 7,5 dneh. V kolikšnem času bodo most prebarvali, če delajo vsi hkrati?
5. V podjetju je zaposlenih 1.440 delavcev (moških in žensk). Za nadpovprečne rezultate je premijo prejelo 18,75 % vseh moških in 22,5 % vseh žensk. Skupaj je bilo s premijami nagrajenih 20 % zaposlenih. Koliko moških in koliko žensk je zaposlenih v podjetju?
6. Ob 10. uri je iz postaje A s hitrostjo 55 km/h odpeljal potniški vlak. Uro in pol kasneje je iz postaje B, ki je 360 km oddaljena od postaje A, nasproti odpeljal hitri vlak s hitrostjo 130 km/h. Kdaj in kako daleč od postaje A se bosta vlaka srečala?
7. Dolžina pravokotnika je za 12 cm večja od njegove trikratne širine. Obseg pravokotnika je 104 cm. Kakšne so dimenzije pravokotnika?
8. Mesti A in B sta oddaljeni 42 km. Iz mesta A gre pešec s hitrostjo 6 km/h v nasprotno smer kot je mesto B. Pol ure kasneje iz mesta B za pešcem krene kolesar s hitrostjo 24 km/h. Koliko časa bo potreboval kolesar, da ujame pešca, in kako daleč bo takrat od mesta B?
9. V internatu je nastanjenih 51 dijakov v 15 sobah. Nekatere sobe so štiriposteljne, druge pa triposteljne. Koliko je v internatu štiriposteljnih in koliko triposteljnih sob, če sta v internatu dve postelji prosti?
10. Površini dveh kock se razlikujeta za 19.272 cm². Ena kocka ima rob za 22 cm daljši od druge. Izračunaj dolžino robov obeh kock.
11. Morska voda vsebuje 5 % soli. Koliko kilogramov sladke vode moramo dodati k 40 kg morske vode, da zmanjšamo vsebnost soli na 2 %?
12. Prvi pritok napolni vodno zajetje v 1 uri in 10 minutah, drugi pa v 60 minutah. V koliko minutah se bo zajetje napolnilo do polovice, če odpremo drugi pritok 12 minut kasneje?
13. Prvi traktorist bi polje preoral v 15 urah, drugi traktorist z močnejšim strojem pa v 12 urah. V kolikšnem času bosta polje preorala skupaj, če bo drugi začel orati 2 uri pozneje kot prvi?
14. Oče je star 48 let, sin pa 21. Pred koliko leti je bil oče 10-krat starejši od sina?
15. Pri prvi vožnji je avtomobil porabil 20 % bencina v rezervoarju. Pri drugi vožnji je porabil 10 % bencina od tistega, kar je ostalo po prvi vožnji. Po dveh vožnjah je v rezervoarju ostalo 9 litrov bencina. Koliko litrov bencina je bilo v rezervoarju na začetku?
16. V delavnici so kupili 40 kosov orodja za delo na zemljišču. Lopate so stale 16 € na kos, motike pa 18 € na kos. Skupaj so za nakup plačali 690 €. Koliko lopat in koliko motik so kupili?
17. Polovica učencev 9. razreda želi nadaljevati šolanje na srednjih tehniških šolah, četrtina na poklicnih šolah, šestina na gimnazijah, 3 učenci pa ne želijo nadaljevati šolanja. Koliko učencev je v razredu?
18. Izračunaj dolžino stranice kvadrata in dimenzije pravokotnika, če je ena stranica pravokotnika za 5 cm daljša, druga pa za 2 cm krajša od stranice kvadrata. Površina pravokotnika je za 11 cm² večja od površine kvadrata.
19. Hitri vlak prevozi razdaljo od začetne do končne postaje v 4 urah in 20 minutah. Potniški vlak, ki je v povprečju za 30 km/h počasnejši, prevozi to razdaljo v 7 urah in 40 minutah. Kolikšna je hitrost hitrega vlaka in kolikšna potniškega?
20. Šolska jedilnica mora za 141 učencev kupiti dve vrsti sladic v skupni vrednosti 300 €. Cenejša sladica stane 2 €, dražja pa 2,50 €. Koliko sladic vsake vrste morajo kupiti?
21. Kvadrat in pravokotnik imata enako površino. Dolžina pravokotnika je za 9 večja od stranice kvadrata, širina pravokotnika pa za 6 manjša od stranice kvadrata. Izračunaj dolžino stranice kvadrata.
22. Dolžina zemljišča je za 8 m manjša od trikratnika njegove širine. Če povečamo širino za 5 % dolžine in zmanjšamo dolžino za 14 % širine, se obseg zemljišča poveča za 30 m. Kakšne so dimenzije zemljišča?
23. Vsota kvadratov dveh zaporednih naravnih števil je 1.201. Kateri sta ti dve števili?
24. Pravokotnik ima obseg 28 cm, njegova diagonala pa meri 10 cm. Izračunaj dimenzije pravokotnika.
25. Vsota števca in imenovalca neznanega ulomka je 49. Razmerje tega ulomka do njegovega obratnega ulomka je 9:16. Določi neznani ulomek.
26. Kolikšen odstotek Zemljine površine bi zavzemala površina Lune, če je Zemljin polmer 6.378 km in Luninega 1.741 km?
27. Pravokotni trikotnik ima kateti v razmerju 5:12, njegova hipotenuza pa meri 26 cm. Koliko merita kateti?
28. Prednje kolo voza ima obseg 2,1 m, zadnje pa 3,5 m. Koliko je dolga pot, na kateri se zadnje kolo obrne 2.000-krat manj kot prednje?
29. Hipotenuza pravokotnega trikotnika meri 17 cm. Če obe kateti zmanjšamo za 3 cm, se hipotenuza zmanjša za 4 cm. Izračunaj dolžini katet.
30. Kateri mnogokotnik ima 42 diagonal več kot stranic?
Vas zanimajo tudi druge matematične vaje enačbe in neenačbe?
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kako se rešuje besedilne naloge enačbe, hitro poiščite “inštruktor matematike Kranj” ali “inštrukcije matematike Ljubljana”. Na meet’n’learn ali v facebook skupini se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.