1. Uvod v naravna števila
Naravna števila so osnovni gradniki številskega sistema, ki se uporabljajo za štetje, urejanje in osnovne matematične operacije. Najpogosteje uporabljena množica naravnih števil se označuje s simbolom 𝑁 in običajno vključuje vsa pozitivna cela števila, začne pa se z 1. Torej:
𝑁 = {1,2,3,4,5, …}
V določenih matematičnih okoljih, še posebej v teoriji množic in računalništvu, k množici naravnih števil dodamo tudi število 0. Razširjeno množico označujemo z 𝑁0 in je definirana kot:
𝑁0 = {0,1,2,3,4,5, …}
Vpeljava ničle v množico naravnih števil omogoča enostavnejše oblikovanje in dokazovanje nekaterih matematičnih trditev, saj nič pogosto deluje kot nevtralen element.
Kaj so naravna števila
Naravna števila so določena z nizom pravil (Peanovi aksiomi), ki opisujejo njihove osnovne lastnosti. Peanovi aksiomi so:
- 0 je naravno število.
- Vsako naravno število 𝑛 ima naslednika, ki je prav tako naravno število.
- Nič ni naslednik nobenega naravnega števila.
- Če sta naravni števili enaki, so enaki tudi njihovi nasledniki.
- Če neka lastnost velja za število 0 in če iz veljavnosti te lastnosti za število 𝑛 sledi njena veljavnost za naslednika, potem ta lastnost velja za vsa naravna števila.
Peanovi aksomi so osnova za razumevanje naravnih števil in njihovo uporabo v matematiki.
2. Operacije z naravnimi števili
Naravna števila omogočajo izvajanje osnovnih matematičnih operacij, kot sta seštevanje in množenje. Osnovni zakoni, ki veljajo za te operacije, nam pomagajo razumeti, kako delujejo in kako jih lahko uporabljamo pri reševanju problemov.
Komutativnost, asociativnost in distributivnost
Komutativnostni zakon
Komutativni zakon pri seštevanju in množenju pravi, da lahko števila seštevamo ali množimo v katerem koli vrstnem redu, ne da bi to vplivalo na končni rezultat. To pomeni:
Za vsa naravna števila 𝑎 in 𝑏, velja:
𝑎+𝑏=𝑏+𝑎 in 𝑎⋅𝑏=𝑏⋅𝑎
Asociativnostni zakon
Asociativnostni zakon povezuje seštevanje in množenje. Omogoča nam, da število pomnožimo z vsoto in dobimo enak rezultat, kot če bi število pomnožili z vsakim členom vsote posebej, in seštejemo rezultate. To je še posebej uporabno, ko imamo več števil:
Za vsa naravna števila 𝑎, 𝑏 in 𝑐, velja:
(𝑎+𝑏)+𝑐=𝑎+(𝑏+𝑐) in (𝑎⋅𝑏)⋅𝑐=𝑎⋅(𝑏⋅𝑐)
Distributivnostni zakon
Distributivnostni zakon povezuje seštevanje in množenje. Zagotavlja, da lahko število pomnožimo z vsoto dveh števil tako, da najprej pomnožimo to število z vsakim od sestavnih delov vsote posebej in nato rezultate seštejemo:
Za vsa naravna števila 𝑎, 𝑏 in 𝑐, velja:
𝑎⋅(𝑏+𝑐)=(𝑎⋅𝑏)+(𝑎⋅𝑐)
3. Deljivost naravnih števil
Deljivost je osnovni koncept, ki pojasni, ali je naravno število 𝑎 deljivo z drugim naravnim številom 𝑏 brez ostanka. Če 𝑎 delimo z 𝑏 in ostane ostanek 0, pravimo, da 𝑏 deli 𝑎 (označimo 𝑏∣𝑎), in število 𝑎 je večkratnik števila 𝑏.
Osnovni izrek o deljenju
Za katerikoli naravni števili 𝑎 in 𝑏, kjer 𝑏≠0, obstajata edinstveni števili 𝑞 (količnik) in 𝑟 (ostanek) tako, da velja: 𝑎=𝑏𝑞+𝑟 pri čemer je 0≤𝑟<𝑏. Če je 𝑟=0, potem je število 𝑎 deljivo z 𝑏.
Deljivost naravnih števil uporaba:
- Preverjanje praštevil: Število je praštevilo, če ni deljivo z nobenim številom razen 1 in samega sebe.
- Faktorizacija: Ločevanje števila na manjše delitelje, ki pomaga pri iskanju skupnih deliteljev in pri šifriranju.
- Algoritmične aplikacije: Uporablja se pri razvoju računalniških algoritmov in kriptografskih sistemov.
4. Praštevila
Praštevilo je naravno število večje od 1, ki ima natanko dva pozitivna delitelja: število 1 in samo sebe. To lastnost izkoriščamo za različne matematične in kriptografske aplikacije.
Kaj je praštevilo
- Unikatni delitelji: Praštevilo je vsako število 𝑝>1, ki ni deljivo z nobenim naravnim številom razen z 1 in 𝑝.
- Nedeljivost: Za praštevilo 𝑝 ne obstaja število 𝑛, za katero bi veljalo 1<𝑛<𝑝, ki bi 𝑝 delilo brez ostanka.
Kako razlikujemo med praštevili in sestavljenimi števili
- Sestavljena števila: To so naravna števila večja od 1, ki imajo več kot dva pozitivna delitelja. Na primer, število 6 ima delitelje 1, 2, 3 in 6.
- Identifikacija: Sestavljena števila lahko predstavimo kot produkt manjših naravnih števil, medtem ko to za praštevila ni mogoče.
Kako prepoznamo praštevilo
- Preizkus deljivosti: Za določitev, ali je število praštevilo, preverimo njegovo deljivost z vsemi manjšimi naravnimi števili do njegovega korena. Če ni deljivo z nobenim od teh števil, je praštevilo.
- Uporaba sita Eratostena: Ta metoda omogoča učinkovito filtriranje praštevil do določene meje. Začnemo z vsemi števili do te meje in postopoma odstranjujemo večkratnike vsakega števila, začenši z 2.
- Računalniški algoritmi: Za večja števila se uporabljajo algoritmi, kot sta Miller-Rabinov ali AKS, ki so zanesljivi, a zahtevajo več računske moči.
Praštevila so temeljni gradniki v številski teoriji, saj lahko vsako naravno število razstavimo na produkt praštevil, kar je znano kot osnovni izrek aritmetike.
Naravna števila in praštevila vaje z rešitvami
Spodaj smo pripravili matematične naloge, da boste lahko vadili naravna števila, praštevila in deljivost naravnih števil. Rešite jih in utrdite znanje naravnih števil, deljivosti in praštevil. Rešitve najdete čisto spodaj. ⬇️
1. Zapišite prvih 20 praštevil.
2. Določite, ali je dano število deljivo z 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10:
3. Dana števila razcepite na prafaktorje (praštevilska faktorizacija, praštevilski razcep):
4. Ugotovite, ali je dano naravno število deljivo z 2:
220; 555; 27; 42; 63; 144; 1.236; 379; 11; 458; 810; 151; 75; 8; 7.894; 12; 71; 20; 12.547
5. Določite, ali je dano naravno število deljivo s 3:
729; 478; 213; 158; 2.142; 914; 13; 539; 441; 1.665; 110; 513; 943; 717; 436; 25.549; 17
6. Določite, ali je dano naravno število deljivo s 4:
214; 330; 174; 7.964; 88; 9.260; 51.422; 766; 684; 255; 94; 17; 552; 784; 5.550; 980; 730
7. Določite, ali je dano naravno število deljivo s 5:
515; 160; 461; 505; 723; 1.012; 420; 5.435; 28; 33; 6.130; 866; 262; 990; 102; 98; 1.165
8. Ugotovi, ali je dano naravno število deljivo s 6:
518; 70; 94; 710; 1.446; 403; 868; 530; 960; 124; 89; 258; 961; 455; 2.010; 3.726; 15.470
9. Ugotovi, ali je dano naravno število deljivo z 8:
28; 136; 600; 62; 850.808; 55; 1.608; 216.400; 816; 840; 754.940; 320; 464; 16.016; 864
10. Določite, ali je dano naravno število deljivo z 9:
600; 81; 3.330; 405; 9.034; 8.542; 9.339; 3.555; 75.870; 2.763; 480; 1.536; 12.521; 7.587
11. Določite, ali je dano naravno število deljivo z 10:
2.110; 5.000; 12.305; 1.000.000; 45.980; 102; 90; 11; 5.120; 3.000; 21.847; 32.110; 1.290
12. Določite, ali je dano naravno število deljivo z 11:
121; 605; 1.521; 946; 253; 78; 4.972; 6.941; 11.201; 2.057; 3.689; 2.167; 781; 14.641; 88
13. Določite, ali je dano naravno število deljivo z 12:
1.176; 1.440; 5.110; 9.870; 96; 132; 1.236; 846; 771; 598; 1.450; 1.595; 7.848; 122; 8.892
14. Določite, ali je dano naravno število deljivo s 15:
145; 975; 10.950; 52.080; 75.000; 4.682; 37; 90; 135; 487; 13.680; 615; 100; 50.625; 880
15. Ugotovite, ali je dano naravno število deljivo z 20:
15.520; 145.560; 22; 48.125; 410; 80; 490; 10.340; 57; 740; 350; 6.000; 18.970; 413.560
Dodatne vaje za množice in števila
Če iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj so naravna števila in praštevila, hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na platformah, kot je meet’n’learn, se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.