1. Uvod v množice
Množica je osnovni matematični pojem, ki predstavlja zbirko različnih objektov, imenovanih elementi. Ti elementi so lahko števila, ljudje, črke, simboli ali celo druge množice. Množico običajno označujemo z veliko črko in elemente množice zavijemo v zavite ali okrogle oklepaje.
Kako zapišemo množico
- Množica celih števil od 1 do 5:
𝐴={1,2,3,4,5}
- Množica sodih števil:
𝐵={2,4,6,8,10, …}
- Množica naravnih števil manjših od 7:
𝐶={𝑛∣𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛<7}
Prazna množica
Posebna vrsta množice je prazna množica, ki ne vsebuje nobenega elementa. Označimo jo lahko s simbolom ∅ ali s praznimi zavitimi oklepaji {}.
2. Operacije z množicami
Množice lahko med seboj primerjamo in kombiniramo z različnimi matematičnimi operacijami. Te operacije nam omogočajo gradnjo novih množic iz že obstoječih in so temelj za nadaljnje matematične raziskave in aplikacije.
Presek množic ( 𝐴∩𝐵 )
Presek dveh množic 𝐴 in 𝐵 je množica, ki vsebuje samo elemente, ki so prisotni v obeh množicah.
Presek množice primer:
Če je 𝐴={1,2,3,4} in 𝐵={3,4,5,6}, potem je 𝐴∩𝐵={3,4}.
Unija množic ( 𝐴∪𝐵 )
Unija dveh množic 𝐴 in 𝐵 je množica, ki vključuje vse elemente, ki so v množici 𝐴, 𝐵 ali v obeh.
Unija množice primer:
Za 𝐴={1,2,3} in 𝐵={3,4,5} je 𝐴∪𝐵={1,2,3,4,5}.
Razlika množic ( 𝐴∖𝐵 )
Razlika množic 𝐴 in 𝐵, označena kot 𝐴∖𝐵 ali 𝐴−𝐵, vključuje vse elemente, ki so v množici 𝐴 in ne v 𝐵.
Razlika množic primer:
Če je 𝐴={1,2,3,4} in 𝐵={3,4,5,6}, potem je 𝐴∖𝐵={1,2}.
Komplement množice ( 𝐴′ ali 𝐴𝑐 )
Komplement množice 𝐴 glede na univerzalno množico 𝑈 je množica vseh elementov, ki so v univerzalni množici, a ne v množici 𝐴.
Komplement množice primer:
Če je 𝑈={1,2,3,4,5,6} in 𝐴={2,4,6}, je 𝐴′={1,3,5}.
Kartezični produkt ( 𝐴×𝐵 )
Kartezični produkt dveh množic 𝐴 in 𝐵 je množica vseh urejenih parov, kjer je prvi element para iz 𝐴 in drugi iz 𝐵.
Kartezični produkt primer:
Če je 𝐴={1,2} in 𝐵={3,4}, je 𝐴×𝐵={(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}.
Presek, unija, komplement množice in kartezični produkt omogočajo analizo odnosov med množicami, kar je ključno za teorijo množic in njeno uporabo v različnih matematičnih disciplinah.
3. Moč množice
Kaj je moč množice
Moč množice, znana tudi kot kardinalnost množice, je merilo, ki pove, koliko elementov vsebuje določena množica. Označimo jo z ∣𝐴∣ ali 𝑚(𝐴), kjer je 𝐴 množica.
Moč množice primer:
Če je 𝐴={5,7,9}, potem je ∣𝐴∣=3, ker množica 𝐴 vsebuje tri elemente.
Kako izračunamo moč množice
Moč množice izračunamo tako, da preštejemo vse njene elemente. Pri končnih množicah je to enostavno, pri neskončnih množicah pa moč določamo s primerjavo z znanimi neskončnimi množicami, kot so naravna števila, cela števila itd.
Formula za izračun moč unije dveh množic
Ko želimo izračunati moč unije dveh množic, uporabimo formulo:
∣𝐴∪𝐵∣=∣𝐴∣+∣𝐵∣−∣𝐴∩𝐵∣
Formula upošteva, da se pri preštevanju moči množic 𝐴 in 𝐵 elementi, ki so skupni obema množicama (elementi preseka 𝐴∩𝐵), štejejo dvakrat. Podvajanje uredimo tako, da odštejemo moč preseka ∣𝐴∩𝐵∣.
Moč unije dveh množic primer:
Če je 𝐴={1,2,3} in 𝐵={2,3,4}, potem:
- ∣𝐴∣=3
- ∣𝐵∣=3
- ∣𝐴∩𝐵∣=2 (ker sta 2 in 3 skupna elementa)
- ∣𝐴∪𝐵∣=3+3−2=4 (elementi množice 𝐴∪𝐵 so {1, 2, 3, 4})
Takšen pristop izračuna za moč unije dveh množic zagotavlja natančen izračun števila elementov v združeni množici, brez ponavljanja skupnih elementov, in je temelj za analizo bolj kompleksnih množic.
4. Podmnožice
Kaj je podmnožica
Podmnožica množice 𝐴 je vsaka množica, katere vsi elementi so tudi elementi množice 𝐴. Če je množica 𝐵 podmnožica množice 𝐴, to označimo z 𝐵⊆𝐴.
Podmnožica primer:
Če je 𝐴={1,2,3}, potem so podmnožice množice 𝐴 med drugim {1}, {2,3}, in {1,2,3}.
Podmnožica, ki ne vsebuje vseh elementov množice 𝐴, se imenuje prava podmnožica. To označimo z 𝐵⊂𝐴, če velja 𝐵⊆𝐴 in 𝐵≠𝐴.
Potenčna množica
Potenčna množica množice 𝐴, označena kot 𝑃(𝐴), je množica vseh možnih podmnožic množice 𝐴, vključno s prazno množico ∅ in samo množico 𝐴.
Potenčna množica primer:
Za množico 𝐴={1,2} je potenčna množica 𝑃(𝐴)={∅,{1},{2},{1,2}}.
Število podmnožic
Število podmnožic, ki jih ima množica 𝐴, se lahko izračuna z uporabo formule 2𝑛, kjer je 𝑛 število elementov množice 𝐴. To izhaja iz dejstva, da ima vsak element množice dve možnosti – bodisi je v podmnožici bodisi ni.
Število podmnožic primer:
Če ima množica 𝐴 tri elemente, je število možnih podmnožic 23=8, kar so ∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.
5. Kartezični produkt množic
Kaj je kartezični produkt
Kartezični produkt množic 𝐴 in 𝐵, označen kot 𝐴×𝐵, je množica vseh urejenih parov, kjer prvi element para prihaja iz množice 𝐴, drugi element para pa iz množice 𝐵. Matematično ga opredelimo kot:
𝐴×𝐵={(𝑎,𝑏) ∣ 𝑎 ∈ 𝐴,𝑏 ∈ 𝐵}
Kartezični produkt primer 1:
Če je 𝐴={1,2} in 𝐵={𝑎,𝑏}, potem je: 𝐴×𝐵={(1,𝑎),(1,𝑏),(2,𝑎),(2,𝑏)}
Kartezični produkt primer 2:
Če je 𝐴={0,1} in 𝐵={rdeča, zelena}, potem je: 𝐴×𝐵={(0,rdeča), (0,zelena), (1,rdeča), (1,zelena)}
Kartezični produkt v koordinatnem sistemu
Kartezični produkt lahko ponazorimo grafično s pomočjo koordinatnega sistema, kjer ena os predstavlja prvi nabor množic (množica 𝐴), druga os pa drugi nabor množic (množica 𝐵). Vsak par (𝑎,𝑏) iz kartezičnega produkta lahko prikažemo kot točko v tem koordinatnem sistemu.
6. Intervali
Kaj je interval in kako ga definiramo
Interval v matematiki predstavlja množico vseh realnih števil, ki ležijo med dvema izbranima številoma, ki sta znana kot krajišči intervala. Ti števili določata meje intervala in so lahko vključeni ali izključeni iz množice, odvisno od vrste intervala. Intervali so temeljni za razumevanje mnogih matematičnih konceptov, vključno z analizo, verjetnostjo in algebro.
Vrste intervalov: odprti, zaprti, polodprti
Odprti interval (a, b)
Odprti interval (a, b) vsebuje vsa števila med a in b, ne pa tudi samih krajišč a in b:
- Zapisano matematično: (𝑎,𝑏)={𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑎<𝑥<𝑏}
Zaprti interval [a, b]
Zaprti interval [a, b] vsebuje vsa števila med a in b, vključno z obema krajiščema a in b:
- Zapisano matematično: [𝑎,𝑏]={𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑎≤𝑥≤𝑏}
Polodprti interval (𝑎,𝑏] in [𝑎,𝑏)
Polodprti interval vsebuje kombinacijo odprtih in zaprtih krajišč:
(𝑎,𝑏] vsebuje vse števila med a in b, ne vključuje a, vključuje pa b:
- Matematično: (𝑎,𝑏]={𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑎<𝑥≤𝑏}
[𝑎,𝑏) vsebuje vse števila med a in b, vključuje a, ne pa b:
- Matematično: [𝑎,𝑏)={𝑥 ∈ 𝑅 : 𝑎≤𝑥<𝑏}
Kako zapišemo interval in primeri intervalov
Interval zapišemo s pomočjo oklepajev, ki so odvisni od vrste intervala. Oglati oklepaji [ ] označujejo vključitev krajišča, medtem ko okrogli oklepaji ( ) označujejo izključitev krajišča.
Odprti interval primer:
Interval (3, 7) vključuje vse števila večje od 3 in manjše od 7, ne pa števil 3 in 7. Graf na številski premici bi to prikazal z odprtimi krogi na številih 3 in 7.
Zaprti interval primer:
Interval [1, 5] vključuje števila 1, 5 in vsa števila med njima. Na premici bi to prikazali z odebeljenimi točkami na 1 in 5.
Polodprti interval primer:
Interval (2, 8] vključuje števila večje od 2 in do 8, vključno s številom 8. Na premici bi 2 imel odprt krog, 8 pa odebeljen krog.
Množice in intervali vaje z rešitvami
Spodaj smo pripravili matematične naloge, da boste lahko vadili množice in intervale. Utrdite, kaj je prazna množica, presek množic, unija množice, komplement množice. Rešite jih in preverite svoje znanje množic in intervalov. Rešitve najdete čisto spodaj. ⬇️
1. Poiščite presek A∩B, unijo A∪B in razlike A-B, B-A množic A, B, če:
2. Dane so množice A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, B={1,4,6,7,10,14}, C={3,5,6,7,9}, D={0,2,4,6,8}. Določite množice:
3. Na številski premici navedite presek I∩J, unijo I∪J in razlike I-J, J-I intervalov I, J, če:
4. Poiščite presek A∩B, A∩C, B∩C, unije A∪B, A∪C, B∪C in razlike A-B, A-C, B-A, B-C, C-A, C-B množic A, B, C, če:
5. Poiščite komplement A’M množice A k množici M, če:
Dodatne vaje za množice in števila
Iščete učitelja, ki vam lahko pomaga osvojiti, kaj so intervali? Hitro poiščite “inštruktor matematike Celje” ali “inštrukcije matematike Maribor”. Na platformah, kot je meet’n’learn, se lahko v trenutku povežete z najboljšim zasebnim učiteljem.